Entre dos números racionales hay infinitos racionales entre ellos?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Si dos números racionales son distintos al menos existirá un número irracional entre ellos, pero ¡no solamente uno sino infinitos irracionales!.
¿Por qué?
Vamos a construir primero un irracional entre dos racionales cualesquiera.
Primero buscaré un racional que esté entre dos racionales… El más famoso se llama “punto medio” o “valor medio”.
Dados dos racionales “a” y “b”, el punto medio, “m” es la suma dividida por 2.
m=a+b2
¿Por qué sabemos que ese punto medio está siempre entre ambos números?
Bien, supongamos que “a” y “b” están ordenados, es decir, que “a” es menor que “b”.
En caso contrario los cambiamos de nombre…
Esto se escribe:
a < b
ahora sumamos b en ambos lados de la desigualdad
a+b < b+b
a+b < 2b
Y ahora dividimos entre 2:
m < b
Si en lugar de sumar b a ambos lados sumamos a:
a < b
a+a < b+a
2a < b+a
Y dividiendo entre 2:
a < m
Así que a < m < b
Y, por tanto, m, el valor medio, está entre “a” y “b”
Ahora bien, la pregunta dice un irracional y lo que hemos encontrado es un racional entre “a” y “b”.
Lo que haremos será sumar un irracional a esa media pero sin salirnos del intervalo entre “a” y “b”.
La distancia entre “a” y “b” es (b-a).
Y el punto medio está a la misma distancia de “a” y de “b”, es decir:
(m-a) = (b-m)
Por tanto,
2m = b+a
m = (b+a)/2
Y, ¿cuánto es (m-a) = (b-m) ?
m - a = a/2 + b/2 - a = b/2 - a/2 = (b-a)/2
b-m = b - (a/2 + b/2) = b/2 - a/2 = (b-a)/2
Explicación paso a paso: