Question

Entre dos números racionales hay infinitos racionales entre ellos?

Answer 1

Respuesta:

Si dos números racionales son distintos al menos existirá un número irracional entre ellos, pero ¡no solamente uno sino infinitos irracionales!.

¿Por qué?

Vamos a construir primero un irracional entre dos racionales cualesquiera.

Primero buscaré un racional que esté entre dos racionales… El más famoso se llama “punto medio” o “valor medio”.

Dados dos racionales “a” y “b”, el punto medio, “m” es la suma dividida por 2.

m=a+b2

¿Por qué sabemos que ese punto medio está siempre entre ambos números?

Bien, supongamos que “a” y “b” están ordenados, es decir, que “a” es menor que “b”.

En caso contrario los cambiamos de nombre…

Esto se escribe:

a < b

ahora sumamos b en ambos lados de la desigualdad

a+b < b+b

a+b < 2b

Y ahora dividimos entre 2:

m < b

Si en lugar de sumar b a ambos lados sumamos a:

a < b

a+a < b+a

2a < b+a

Y dividiendo entre 2:

a < m

Así que a < m < b

Y, por tanto, m, el valor medio, está entre “a” y “b”

Ahora bien, la pregunta dice un irracional y lo que hemos encontrado es un racional entre “a” y “b”.

Lo que haremos será sumar un irracional a esa media pero sin salirnos del intervalo entre “a” y “b”.

La distancia entre “a” y “b” es (b-a).

Y el punto medio está a la misma distancia de “a” y de “b”, es decir:

(m-a) = (b-m)

Por tanto,

2m = b+a

m = (b+a)/2

Y, ¿cuánto es (m-a) = (b-m) ?

m - a = a/2 + b/2 - a = b/2 - a/2 = (b-a)/2

b-m = b - (a/2 + b/2) = b/2 - a/2 = (b-a)/2

Explicación paso a paso: