Question

Enrique compró para sus hijos una piscina portátil en forma de prisma. Cuando sus hijos crecieron, decidió comprar una piscina que fuera el doble de los lados de la base y 1,5 veces la altura con respecto a la anterior. Si con la primera piscina Enrique estaba pagando10, 50 soles por el agua consumida, ¿Cuánto pagará por el agua que necesita para llenar esta nueva piscina?

Answer 1

Un prisma es un poliedro formado por dos caras iguales, y paralelas entre si, llamadas bases, y un conjunto de caras laterales, paralelogramos, que conectan a ambas caras. La forma, y nombre, del prisma, depende de la forma se su base.

El volumen de un prisma viene dado por el producto del área de sus bases por la altura del mismo, o distancia entre ambas bases.Dado que no indican la forma o número de lados de la base, asumimos que la misma tiene forma de polígono regular, y el área de la misma debe calcularse con una fórmula general:

$A=n*l*a/2$,

donde $A$ es el área de las bases,

$n$ es el número de lados de las bases

$l$ es la longitud de los lados de las bases, y

$a$ es la apotema.

La apotema es la distancia entre el centro del polígono y el punto medio de cada uno de sus lados. Si hacemos un triángulo entre el centro del polígono y los extremos de un lado, la apotema viene siendo la altura de este triángulo (rectángulo de base $l/2$ y ángulo $\alpha /2$).

Para un polígono de $n$ lados, cada uno de estos triángulos considera una sección angular de $360/n$, por lo cual la apotema viene dada por la expresión:

$a=l/2tag(\alpha /2)$

siendo $\alpha =360/n$

Uniendo ambas expresiones,

$A=\frac{n*l*\frac{l}{2tag(\alpha /2)} }{2} =\frac{n*l^2}{4tag(\alpha /2)}$

dado que el número de lados no varía, tampoco el ángulo descrito por estos, tenemos entonces que la variación del área sólo es función de la longitud de los lados,

$A=kl^2$

donde $k$ es un factor constante, $k=\frac{n}{4tag(\alpha /2)}$

Ya con una expresión práctica de área, determinamos una expresión de volumen,

$V=A*h=kl^2h$

Para la piscina original, $V_0=kl_0^2h_0$

Para la piscina nueva,$V_f=kl_f^2h_f$

Tenemos que los lados de la piscina nueva son el doble de la piscina original, y que la altura de la piscina nueva es 1,5 veces la altura de la piscina original, por tanto:

$l_f=2l_0\\h_f=1.5h_0$

Combinando,

$V_f=k(2l_0)^2(1.5h_0)\\V_f=k4l_0^2*1.5h_0\\V_f=6kl_0h_0=6V_0$

Siendo 6 veces el volumen de la piscina original, el consumo de agua es 6 veces el consumo de agua original, por tanto, debe pagar 6 veces la cantidad original,

$P=6*10,5=90$

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