Question

Encuentre una ecuacion para cada una de las rectas que pasan por (-16,-3) y que sean tangentes a la curva y=(x-1)/(x+3). (Aplicar derivadas)

Answer 1

La recta tangente tiene por ecuación:

y + 3 = m (x + 16) con m, pendiente de la recta, a determinar.

La aplicación de la derivada es muy útil cuando el punto donde pasa la recta tangente pertenece a la curva. No es este el caso.

Se intenta hallar la intersección de la curva con la recta; para que la recta sea tangente a la curva, el discriminante de la ecuación de segundo grado que resulta debe tener solución única, lo que implica discriminante nulo. De acá surgirá una ecuación de segundo grado en m, cuyas raíces son las pendientes de las tangentes.

y = m x + 16 m - 3 = (x -1) / (x + 3)

Luego (m x + 16 m - 3) (x + 3) = x - 1

Se quitan paréntesis y se arma una ecuación de segundo grado en x

La ecuación es. (omito los pasos intermedios)

m x² + (19 m - 4) x + 48 m - 4 = 0

El discriminante lo igualamos a cero:

(19 m - 4)² - 4 m (48 m - 4) = 0

queda: 169 x² - 120 m + 16 = 0

Ecuación de segundo grado en m. Sus raíces aproximadas son

m = 0,532; x = 0,178

Las dos rectas tangentes son:

y + 3 = 0,532 (x + 16

y + 3 = 0,178 (x + 16)

Adjunto gráfico con la función y las dos rectas tangentes.

Saludos Herminio

PD. He intentado hallar las ecuaciones mediante el uso de las derivadas.

Pero he llegado a una ecuación de cuarto grado con incógnita en la abscisa del punto de tangencia

Son dos; x = - 5,74; x = 1,74

Corresponden con y = 2,46; y = 0,156

Los puntos de tangencia son:

P1 (- 5,74; 2,46)

P2 (1,74; 0,156)

Pueden observarse en la gráfica