Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 100 metros, cuya área sea tan grande como sea posible.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Debe medir 25 x 25 para tener el área máxima
Explicación paso a paso:
Supongo es sobre el tema de máximos y mínimos, aquí está paso a paso:
Las dimensiones necesarias para que el rectángulo tenga la mayor área posible son: 25 metros de lado, es un cuadrado.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área del rectángulo. Si llamamos x la longitud mayor y y la longitud menor; la función objetivo viene dada por:
Área = A = xy
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el perímetro del rectángulo (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:
Perímetro = P = 2x + 2y = 100 ⇒ y = 50 - x
por tanto la función objetivo es
A = x (50 - x) = 50x - x²
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
A’ = 50 - 2x
A' = 0 ⇒ 50 - 2x = 0 ⇒ x = 25 m
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A'' = -2
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A''(25) = -2 < 0 ⇒ x = 25 es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de la longitud mayor en la ecuación de cálculo del la longitud menor y:
y = 50 - (25) = 25 m
Las dimensiones necesarias para que el rectángulo tenga la mayor área posible son: 25 metros de lado, es un cuadrado.
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