Question

Encuentre las dimensiones de la region sombreada de modo que su area sea máxima.​

Answer 1

Respuesta:

$\mathsf{Base\,\,\,=}2\sqrt{8}\\\mathsf{Altura=}16$

Te encargo corazoncito, coronita y puntuacion 5 estrellas por favor...

Explicación:

Si escogemos cualquier punto de la parábola, la base será "2x", porque del otro punto es la misma distancia en x sólo que negativa, y altura siempre será sólo "y"...

Por lo que la fórmula del área quedaría...$A=B \times H=2xy\\\\\mathsf{Ahora \,sustituimos\,y=24-x^2 ...}\\\\A=2x(24-x^2)=48x-2x^3\\A=48x-2x^3\\\\\mathsf {Ahora \,derivamos...} \\\\\frac {dA} {dx} = 48-6x^2\\\\\mathsf {Igualamos \,con\,cero...} \\\\48-6x^2=0\\\\\mathsf {Sacamos \,numeros\,criticos...} \\\\(\sqrt{48}+\sqrt{6}x)(\sqrt{48}-\sqrt{6}x)=0\\(\sqrt{48}+\sqrt{6}x)=0\leftrightarrow \sqrt{6}x=-\sqrt{48}\leftrightarrow x=-\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}}\leftrightarrow x=-{\sqrt{\frac{48}{6}}}\leftrightarrow x=-{\sqrt{8}}$

$(\sqrt{48}-\sqrt{6}x)=0\leftrightarrow \sqrt{6}x=\sqrt{48}\leftrightarrow x=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}}\leftrightarrow x={\sqrt{\frac{48}{6}}}\leftrightarrow x={\sqrt{8}}$

Vamos a escoger el valor positivo y checamos por medio de la prueba de la primer derivada si existe un máximo, para la prueba utilizaremos un valor menor y otro mayor que raiz de 8 y los sustituimos en derivada...

Un numero menor que raiz de 8 puede ser 2

Un numero ,mayor que raiz de 8 puede ser 3

$48-6(2)^2=48-24=24\,\,\mathsf{Nos\,interesa\,el\,signo,\,es\,}\bold{+}\\48-6(3)^2=48-54=-6\,\,\mathsf{Nos\,interesa\,el\,signo,\,es\,}\bold{-}$

Como hubo un cambio de + (creciente) a - (decreciente), de acuerdo a la prueba de la primer derivada tenemos un máximo cuando...

$x=\sqrt{8}$

Para encontrar el valor de "y" sustituimos en la funcion de la parabola...

$y=24-x^2=24-(\sqrt{8})^2=24-8=16\\\\\mathsf{Por\,lo\,tanto...}\\\mathsf{Base\,\,\,=}2\sqrt{8}\\\mathsf{Altura=}16$