Question

Encuentre la raíz cubica de 2i-2

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

z=2i-2 es un número complejo de parte real -2 y parte imaginaria 2

Calculamos su módulo  ║z║=$\sqrt{(-2)^{2} +2^{2} } =\sqrt{8}$

argumento (2i-2) = 180° - arctan$(\frac{2}{2} )$ =  135°

$\sqrt[3]{2i-2}=\frac{2\sqrt{2} }{3} (cos(\frac{135+360k}{3}) + isen(\frac{135+360k}{3}))$

para k =0,1,2

Si k = 0

$w_0=\sqrt[3]{\sqrt{8} } }(cos(\frac{135}{3}+isen(\frac{135}{3}) =\sqrt[6]{8} (cos(45)+isen(45))$

Si k = 1

$w_1=\sqrt[6]{8} (cos(\frac{135+360}{3}+isen(\frac{135+360}{3}) =\sqrt[6]{8} (cos(165)+isen(165))$

Si k = 2

$w_2=\sqrt[6]{8} (cos(\frac{135+720}{3}+isen(\frac{135+720}{3}) =\sqrt[6]{8} (cos(285)+isen(285))$

Luego como $\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^{3} } =\sqrt{2}$

Entonces simplificando queda:

$w_0=\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} }{2}+i\frac{\sqrt{2} }{2} )=1+i$

$w_1=\sqrt{2}(cos(165)+ i sen(165))$

$w_2=\sqrt{2}(cos(285)+i sen(285))$