Question

Encuentre la función F(x) que satisface:
F'(x)=x²-x+1,
F(-1) = 2.​

Answer 1

Explicación paso a paso:

                                       Datos:

Encuentre la función "F(x)" que satisface:
                                   $F'(x)=x^2-x+1$

                                        $F(-1)=2$

Para poder encontrar "F(x)" debemos integrar "F'(x)":

                                      Resolución:
                                Encontramos "F(x)":
                                       $x^2-x+1$

                                   $\int\limits{x^2-x+1} \, dx$

                             $\int\limits{x^2} \, dx -\int\limits{x} \, dx +\int\limits{1} \, dx$

                           $\int\limits{x^2} \, dx -\int\limits{x} \, dx +1\int\limits{x^0} \, dx$

                              $\frac{x^{2+1}}{2+1}-\frac{x^{1+1}}{1+1} +1*\frac{x^{0+1}}{0+1}$

                            $F(x)= \frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2} +x+c$

                        Encontramos el valor de "c":

                    $F(-1)=\frac{(-1)^3}{3}-\frac{(-1)^2}{2}+(-1)+c$

                                $2=-\frac{1}{3} -\frac{1}{2} -1+c$

                                  $2+1=-\frac{5}{6} +c$

                                      $3+\frac{5}{6} =c$

                                         $\frac{23}{6}=c$

                                  El valor de "c" es:

                                        $c = \frac{23}{6}$

                          Reorganizamos la función:

                            $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{23}{6}$

                      Comprobamos que cumpla que "F(-1) = 2":

                             $F(-1)=\frac{(-1)^3}{3}-\frac{(-1)^2}{2}+(-1)+\frac{23}{6}$

                                $F(-1)=-\frac{1}{3} -\frac{1}{2} -1+\frac{23}{6}$

                                   $F(-1)=-\frac{5}{6}+\frac{17}{6}$

                                         $F(-1)=2$

                                        Solución:

                              $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{23}{6}$