Question

Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto dado:
a) y = 4√ x, (1, 1)
b) y = x^4 +2x^2 -x, (1, 0)

Answer 1

Respuesta:

a) $y=2x + 2$

b) $y= 7x-5$

Explicación paso a paso:

ejercicio a):

$y=4\sqrt{x}$         Ecuacion 1

primero hallamos la derivada de la funcion, para ello, expresamos la raiz como una potencia quedando:

$y=4x^{\frac{1}{2}}$

ahora si aplicamos la derivada:

$y'=4\times\frac{1}{2}x^{(\frac{1}{2} -1)}$

resolviendo queda:

$y'=2x^{-\frac{1}{2} }$      Ecuacion 2

para calcular la recta tangente en el punto dado, vamos a evaluar la funcion para x=1 en la ecuacion 2:

$y'=2x^{-\frac{1}{2} }$

$y'=2(1)^{-\frac{1}{2} }$

$y'=2$

por lo tanto, la pendiente m de la recta buscada es igual a 2.

la ecuacion de la recta tiene la forma:

$y=mx+b$

como tiene pendiente m=2, se convierte en:

$y=2x+b$      Ecuacion 3

como la recta debe ser tangente a la funcion dada, debemos calcular el valor de y en el punto x=1 de la ecuacion 1:

$y=4\sqrt{x}$

$y=4\sqrt{1}$

$y=4$

por lo que nuestra recta debe pasar por el punto (1,4) para que sea tangente a la funcion dada. Reemplazando estos valores en la ecuacion 3 nos queda:

$y=2x+b$

$4=2(1)+b$

despejamos b quedando:

$b=4-2\\\\b=2$

reemplazando en la ecuacion 4 nos da:

$\boxed{y=2x+2}$

por lo tanto, la recta tangente a la funcion dada y que pasa por el punto

( 1 , 4 ) es y = 2x + 2.      (Ver la grafica con la funcion dada y la recta tangente )

Ejercicio b)

$y = x^4 +2x^2 -x$

vamos a hacer el procedimiento similar al ejercicio anterior. Calculamos la derivada de la funcion obteniendo:

$y'=4x^3+4x-1$

calculamos la pendiente para x=1:

$y'=4x^3+4x-1$

$y'=4(1)^3+4(1)-1$

$y'=7$

la pendiente de la recta es m=7

ahora, la ecuacion de la recta es:

$y=mx+b$

reemplazamos el valor de m:

$y=7x+b$        Ecuacion 5

para calcular el valor de y, reemplazamos el valor de x=1 en la funcion dada:

$y = x^4 +2x^2 -x$

$y = (1)^4 +2(1)^2 -x$

$y=2$

por lo que nuestra recta debe pasar por el punto (1,2) para que sea tangente a la funcion dada.

reemplazamos estos valores en la Ecuacion 5

$y=7x+b$

$2=7(1)+b$

despejamos b:

$b=-5$

por lo que la ecuacion de la recta sera:

$\boxed{y=7x-5}$