Question

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (5, 7).

Answer 1

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,1) y B (5,7) está dada por:

Forma Explícita

$\large\boxed {\bold { y = 2x -3 }}$

Forma General:

$\large\boxed {\bold { 2x - y - 3 = 0}}$

Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente

Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas

$\bold { A\ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B\ (x_{2},y_{2} )}$

Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta

Lo que resulta en

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2,1) y B (5,7)

$\bold { A\ (2,1) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B\ ( 5 , 7) \ ( x_{2},y_{2}) }$

Hallamos la pendiente

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 7 - (1) }{ 5 - (2) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 7-1 }{ 5-2 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 6 }{3 } }}$

$\large\boxed{\bold {m =2 }}$

La pendiente es igual a 2

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1  son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto A (2,1) tomaremos x1 = 2 e y1 = 1

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m= 2 } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { (2,1 )}$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (1) = 2 \ .\ (x- (2)) }}$

$\boxed {\bold { y -1= 2 \ .\ (x-2) }}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal o explícita

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y -1= 2 \ .\ (x-2) }}$

$\boxed {\bold { y -1= 2x -4 }}$

$\boxed {\bold { y =2 x -4 +1 }}$

$\large\boxed {\bold { y = 2x-3 }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita

Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta

Que responde a la forma

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

$\large\boxed {\bold { y =2x - 3}}$

$\boxed {\bold { 2x -3 - y = 0}}$

$\large\boxed {\bold { 2x - y - 3 = 0}}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta dada en la forma general

Se adjunta gráfico