Question

Encuentre la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta x-y=2 en el punto(4,2) y el centro está en el eje x

Answer 1

Respuesta:

La ecuación de la circunferencia tangente a la recta x-y = 2, en el punto (4,2) y cuyo centro está en el eje x, es:

$(x-6)^{2} +y^{2} = 8$

Explicación paso a paso:

La recta tangente a una circunferencia en el centro C(a,b) en el punto P(Xo, Yo) viene dada por la siguiente fórmula:

$y - Yo = -\frac{Xo-a}{Yo-b}(x-Xo)$

Se sabe que el centro de la circunferencia se encuentra en el eje de las x, es decir b = 0 y sustituyendo P(Xo,Yo) = (4,2) tenemos:

$y-2 = -\frac{4-a}{2-0}(x-4)\\ \\y-2 = \frac{-4x}{2}+\frac{ax}{2}+8-2a\\  \\y = (\frac{a}{2} -2)x + 10-2a$

También sabemos que la ecuación de la recta tangente es igual a: y = x-2.

Igualamos el primer término y obtenemos:

$\frac{a}{2}-2 = 1\\ \\\frac{a}{2} = 3\\ \\a = 6$

Así obtenemos el centro de la circunferencia: C (6, 0), ahora sustituimos el centro y el punto P (4,2) en la ecuación de la circunferencia para obtener el radio de la misma:

$(x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2} \\ \\(4-6)^{2} +(2-0)^{2} = r^{2} \\\\(-2)^{2} + 2^{2} = 8 = r^{2}$

Quedando la ecuación de la circunferencia como:

$(x-6)^{2} + y^{2} = 8$

Para conocer más sobre la ecuación de una circunferencia puedes visitar: https://brainly.lat/tarea/8236025