Encuentre la ecuación canónica y general de la circunferencia que pasa por los puntos (2,2) y (-6,2) y cuyo centro esta sobre la recta 6x+5y-18=0
Respuestas a la pregunta
La ecuación de la circunferencia de centro en (h, k) y radio r es:
(x - h)² + (y - k)² = r²
Condiciones para hallar el centro y el radio.
1. Pasa por (2, 2): (2 - h)² + (2 - k)² = r²
2. Pasa por (- 6, 2): (- 2 - h)² + (2 - k)² = r²
3. El centro está en la recta. Sus coordenadas satisfacen la ecuación:
6 h + 5 k - 18 = 0
Si observamos las ecuaciones 1 y 2, si las restamos se cancelan términos semejantes
Queda (2 - h)² - (- 6 - h)² = 0
Quitamos paréntesis
4 - 4 h + h² - (36 + 12 h + h²) = 0; se cancela h²
4 - 4 h - 36 - 12 h = 0
- 16 h = 32;
h = - 2
Reemplazamos en 3:
- 6 . 2 + 5 k = 18
k = (18 + 12) / 5 = 6
Reemplazamos en 1:
(- 2 - 2)² + (2 - 6)² = r² = 32
Ecuación canónica:
(x + 2)² + (y - 6)² = 32
La forma general se obtiene quitando los paréntesis.
x² + 4 x + 4 + y² - 12 y + 36 - 32 = 0
x² + y² + 4 x - 12 y + 8 = 0
Adjunto dibujo con todos los elementos.
