Question

Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva: y 3 − xy2 + cos(xy) = 2 en el punto (0, 1).​

Answer 1

La ecuación de la recta tangente es x-3y+3=0.

Explicación paso a paso:

La pendiente de la recta tangente en el punto (0,1) es la derivada de la función en ese mismo punto. Como la función es trascendente vamos a usar la derivada implícita:

$3y^2.y'-(y^2+x.2y.y')+sen(xy).(y+xy')=0\\\\3y^2.y'-y^2-x.2y.y'+y.sen(xy)+xy'.sen(xy)=0\\\\y'(3y^2-2xy+x.sen(xy))-y^2+y.sen(xy)=0\\\\y'=\frac{y^2-y.sen(xy)}{3y^2-2xy+x.sen(xy)}\\\\y'(0,1)=\frac{1^2-1.sen(1.0)}{3.1^2-2.1.0+1.sen(1.0)}=\frac{1}{3}$

Ahora sabemos que es una recta de pendiente 1/3 que pasa por el punto (0,1). Recurriendo a la ecuación punto-pendiente tenemos:

$y=\frac{1}{3}.x+b\\\\1=\frac{1}{3}.0+b\\\\b=1=>y=\frac{1}{3}x+1\\\\3y=x+3\\\\x-3y+3=0$