Question

Encuentre la distancia entre los puntos (1,1) y (3,9) a lo largo de la curva y= x^2

Answer 1

La longitud $L$ de una función, entre los puntos $x_1=a$ y $x_2=b$, se calcula como:

$L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+(f'(x))^2}} \, dx$

Calculamos la primera derivada de la función:

$f'(x)=(x^2)\frac{d}{dx}$

$f'(x)=2x$

$L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+(2x)^2}\, dx}$

$L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+4x^2}\, dx}$

Esto se integra como:

$L=\left[\frac{1}{2}x\sqrt{1+4x^2}+\frac{1}{4}senh^{-1}(2x)\right]\limits^a_b$

$L=\frac{1}{2}a\sqrt{1+4a^2}+\frac{1}{4}senh^{-1}(2a)-\frac{1}{2}b\sqrt{1+4b^2}-\frac{1}{4}senh^{-1}(2b)$

Reemplazando por los valores pedidos:

$L=\frac{1}{2}\times3\sqrt{1+4\times 3^2}+\frac{1}{4}senh^{-1}(2\times 3)-\frac{1}{2}\sqrt{1+4}-\frac{1}{4}senh^{-1}(2)$

$L=\frac{3}{2}\sqrt{37}+\frac{1}{4}log(6+\sqrt{37})-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{4}log(2+\sqrt{5})$

$L\cong 9,124+0,271-1,118-0,157$

$L\cong 8,12$

Me pareció raro que te lo pidieran a lo largo de la curva, la verdad es que da bastante feo.