Question

Encuentre la derivada direccional de f(x,y,z)=xy^2-4x^2y+z^2 en (1,-1,2) ennla dirección v=6i+2j+3k​.

Answer 1

Respuesta:

$D_uf(1,-1,2)=\frac{54}{7}$

Explicación paso a paso:

Hola! tienes la siguiente función:

$f(x,y,z)=xy^2-4x^2y+z^2$

Para hallar la derivada direccional, hallamos primero el vector unitario de v:

$V=6i+2j+3k\\|V|=\sqrt{36+4+9}=7\\\\\frac{V}{|V|} =\frac{6}{7}i+ \frac{2}{7}j+ \frac{3}{7} k$

Después calculamos el gradiente de la función:

$\nabla f(x,y,z)=\frac{\delta f }{\delta x} i+\frac{\delta f }{\delta y}j+\frac{\delta f }{\delta z}k$

Aplicándolo a la función:

$\nabla f(x,y,z)= (y^2-8xy)i+(2xy-4x^2)j+(2z)k$

El gradiente en (1,-1,2) es:

$\nabla f(1,-1,2)=(1-8(1)(-1))i+(2(1)(-1)-4(1))j+(2(2))k\\\\\nabla f(1,-1,2)=9i-6j+4k$

Por consiguiente, en (1,-1,2) la derivada direccional es:

$D_uf(1,-1,2)=\nabla f(1,-1,2)\bullet \frac{V}{|V|}\\\\D_uf(1,-1,2)=(9i-6j+4k)\bullet (\frac{6}{7}i+ \frac{2}{7}j+ \frac{3}{7} k)\\\\D_uf(1,-1,2)=(\frac{54}{7} )+(-\frac{12}{7} )+(\frac{12}{7} )\\\\D_uf(1,-1,2)=\frac{54}{7}$

Respuesta: $D_uf(1,-1,2)=\frac{54}{7}$

Saludos!!