Question

encuentre la derivada de la función por medio de la definición de derivada

1. f (x) =x +√x
2. g(x)= 2/x

por definición por favor hacer el proceso.......

Answer 1

La definición por derivada viene por medio de la expresión:


lim       [f(x+h) - f(x)] / h
 h→0


Si el límite existe


1) f(x) = x + √x


f(x + h) = x +h + √(x + h)  "Donde esté la variable x, se le agregará x + h"


y' = lim   { x + h + √(x + h) - [x + √x] } / h  "Definición de límite"
      h→0


y' = lim { x + h + √(x + h) - x - √x } / h "Eliminación de la llave []"
      h→0


y' = lim { h + √(x + h) - √x } / h   "Suma de variables semejantes"
     h→0


y' = lim  (h / h)  + lim [√(x + h) - √x] / h  "Separación de las fracciones"
          h→0           h→0


y' = 1 + lim { [√(x + h) - √x] * [√(x + h) + √x] } /  { h * [√(x+h) + √x } "Aplicac de la conju"
               h→0


y' = 1 + lim [ (x + h) - x ] / { h * [√(x + h) + √x ] }
              h→0


y'= 1 + lim [ x + h - x ] / { h * [√(x + h) + √x] }
             h→0


y' = 1 + lim ( h ) / { h * [√(x + h) + √x]  "Suma de variables semejantes"
             h→0


y' = 1 + lim    1 / [√(x + h) + √x]
            h→0


y'= 1 + 1 / (√x + √x)  "Aplicación del límite"


y' = 1 + 1 / 2√x)


2) g(x) = 2/x


y' = lim [ (2 / x + h) - (2 / x) / h  "Donde se ubique x, se le agrega x + h"
           h→0


y' = lim [ 2x - 2(x + h) / x (x + h) ] / h  "Aplicación de suma de fracciones"
           h→0


y' = lim [ (2x - 2x - 2h) / x (x + h) ] / h  "Suma algebraica de términos semejantes"
          h→0


y' = lim ( -2h ) / hx (x + h)  "Simplificación de la variable h"


y' = lim (-2) / x( x + h)  "Aplicación del límite"


y' =  -2 / x^2


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