Question

Encuentre la carga en el capacitor y la corriente de un circuito RLC en serie cuando R = 20 Ω, L = 0,25 H, C = 1/300 F, cuando se acaba de desconectar la fuente, es decir, debe usar V=0 Voltios, q(0) = 4 Coulombs e I(0) = 0 Amperios.

Answer 1

La carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito quedan:

$q(t)=-2C.e^{-60t}+6C.e^{-20t}\\\\i(t)=-120A.e^{-60t}+120A.e^{-20t}$

Explicación:

Si la fuente se acaba de desconectar, y la única malla se cierra, circula una corriente por el circuito producto de la descarga del capacitor, la ecuación diferencial del circuito es:

$v_R+v_C+v_L=0\\\\i.R+\frac{1}{C}\int\limits^{t}_{0} {i} \, dt+L\frac{di}{dt}=0\\\\\frac{dq}{dt}=i(t)=>R.\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}+L\frac{d^2q}{dt}=0\\\\\frac{d^2q}{dt}+\frac{q}{LC}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}=0$

Es una ecuación a coeficientes constantes, por lo que proponemos como solución $q(t)=e^{\alpha.t}$

$\alpha^2+\frac{R}{L}\alpha+\frac{1}{LC}=0\\\\\alpha=\frac{-\frac{R}{L}\ñ\sqrt{(\frac{R}{L})^2-\frac{4}{LC}}}{2}=\frac{-\frac{20}{0,25}\ñ\sqrt{(\frac{20}{0,25})^2-\frac{4}{\frac{1}{300}.0,25}}}{2}\\\\\alpha=\frac{-80\ñ40}{2}\\\\\alpha=-60\frac{1}{s}\\\alpha=-20\frac{1}{s}$

La solución es una combinación lineal de las dos soluciones:

$q(t)=A.e^{-60t}+B.e^{-20t}\\\\t=0=>q=4=>A+B=4\\\\i=\frac{dq}{dt}=-60A.e^{-60t}-20B.e^{-20t}\\\\i(0)=0A=>-60A-20B=0\\\\B=4-A=>-60A-20(4-A)=-60A-80+20A=0\\\\A=-2C\\\\B=4-A=4C-(-2C)=6C$

Entonces la carga y la corriente quedan:

$q(t)=-2C.e^{-60t}+6C.e^{-20t}\\\\i(t)=-120A.e^{-60t}+120A.e^{-20t}$