Question

Encuentre el volumen del sólido que genera al hacer girar, en torno al eje x, la región acotada por la recta y=6x y la parábola y^2=4x

Answer 1

Podemos decir que el volumen del sólido cuando se gira la región acotada por y = 6x ^ y^2 = 4x sobre el eje -x- viene siendo 2π/243 u³.

Explicación paso a paso:

Adjunto vemos la zona que se hace girar. El volumen del sólido de revolución viene siendo:

V = ∫ₐᵇ π·[(f(x) - r)² dx - ∫ₐᵇ π·[(g(x)) - r)² dx

Lo que estamos haciendo es restar el volumen más externos menos el volumen más interno. Ahora, los puntos de cortes son:

• P(0,0)
• P(1/9;2/3)
• y = 0; eje de giro

Entonces, el volumen será desde [0;1/9]:

V = ∫ₐᵇ π·(6x - 0)² dx - ∫ₐᵇ π·(√4x - 0)² dx

V = ∫ₐᵇ π·(6x - 0)² dx - ∫ₐᵇ π·(√4x - 0)² dx

V = ∫ₐᵇ π·(6x)² dx - ∫ₐᵇ π·(√4x)² dx

V = π·12x³|ₐᵇ - π·2x²|ₐᵇ

Evaluamos en limite superior y limite inferior:

V = π·( 12(0)³ -12·(1/9) - [2(0)² - 2(1/9)²] )

V = π·(2/243) u³; siendo este el volumen