Question

Encuentre el volumen del sólido de revolución obtenido de hacer girar alrededor de eje x, la región descrita por y=$\sqrt[5]{x}$ y recta x=6.

Ayuda, es para hoy, por favor.

Answer 1

El volumen del sólido de revolución es $V=\frac{30}{7}\sqrt[5]{36}$

Explicación:

El sólido de revolución se crea al hacer girar la región coloreada en la imagen adjunta alrededor del eje 'x'.

Cuando lo hagamos, cada punto de la curva crea un círculo perpendicular al eje x cuya área es:

$A=\pi.y^2=\pi.(\sqrt[5]{x})^2=\pi.x^{\frac{2}{5}}$

También podemos establecer con esto un diferencial de volumen si lo multiplicamos por un un diferencial de x:

$dV=\pi.x^{\frac{2}{5}}dx$

Como los límites son el origen donde la propia curva cierra el sólido y la recta x=6, el volumen del sólido es:

$V=\int\limits^6_0 {\pi.x^{\frac{2}{5}}} \, dx=\pi\int\limits^6_0 {x^{\frac{2}{5}}} \, dx \\\\V=[\frac{x^{2/5+1}}{2/5+1}]^{6}_0=[\frac{x^{7/5}}{7/5}]^{6}_0\\\\V=\frac{5}{7}(6^{7/5}-0^7/5})\\\\V=\frac{5}{7}.\sqrt[5]{6^7}=\frac{5}{7}.6\sqrt[5]{36}\\\\V=\frac{30}{7}\sqrt[5]{36}$