Question

Encuentre el valor de X y Y en el siguiente sistema de ecuacion, aplicando paso a paso los metodos de igualacion, reduccion, sustitucion.

3x-2y=-2 (1)
5x+8y=-60 (2)

Answer 1

Método de igualación:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones,

$\left \{ {{3x-2y=-2} \atop {5x + 8y = -60} \right.$

Primer paso: Despejar una variable en ambas ecuaciones. Es decir, si despejamos "X"  en la primera ecuación, despejaremos "X" en la segunda ecuación también. (Puedes despejar la Y también, pero si lo haces, recuerda despejar Y en ambas ecuaciones).

De la primera ecuación despejamos X:

$3x+2y=-2$

$3x=-2+2y$

$x=\frac{-2 + 2y}{3}$

Ahora, de la segunda ecuación despejamos X:

$5x+8y=-60$

$5x=-60 - 8y$

$x=\frac{-60 -8y }{3}$

Ahora, sabemos que X es igual a $x=\frac{-2 + 2y}{3}$, y también es igual a $x=\frac{-60 -8y }{3}$. Por lo que si son iguales, vamos a igualarlas.

$\frac{-2+2y}{3} =\frac{-60-8y}{5}$

$5(-2+2y) = 3 (-60-8y)$

$-10+10y = -180-24y$

$34y = -170$

$y=\frac{-170}{34}$

$y = -5$

Ahora, como sabemos que $y = -5$, el último paso es reemplazar el valor de "Y" en cualquiera de las 2 ecuaciones.

$3x-2y=-2$

$3x-2(-5)=-2$

$3x+10=-2$

$3x=-12$

$x=-4$

Por tanto, Y = -5 y x = -4

Método de reducción:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones,

$\left \{ {{3x-2y=-2} \atop {5x + 8y = -60} \right.$

Primer paso: Vamos a multiplicar las ecuaciones por el coeficiente de la variable inversa de tal manera que al sumarlas se eliminen. Es decir, en la primera ecuación el coeficiente de X es 3, y en la segunda es 5. Por tanto multiplicaremos TODA la primera ecuación por -5 (el coeficiente de la segunda ecuación con el signo cambiado) y multiplicaremos TODA la segunda ecuación por 3 (el coeficiente de la primera ecuación)

$\left \{ {{3x-2y=-2} \atop {5x + 8y = -60} \right.$

$\left \{ {{(3x-2y=-2)*-5} \atop {(5x + 8y = -60)*+3} \right.$

$\left \{ {{-15x+10y=+10} \atop {15x + 24y = -180} \right.$  Como se ve, ahora, si sumamos ambas ecuaciones, los X se van a eliminar

$\left \{ {{-15x+10y=+10} \atop {15x + 24y = -180} \right.$+

$34y=-170$

$y=-5$

Y ahora, como sabemos que Y=-5, reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones

$3x-2y=-2$

$3x-2(-5)=-2$

$3x+10=-2$

$3x=-12$

$x=-4$

Por tanto, Y = -5 y x = -4. Nos debe salir el mismo resultado usando cualquiera de los 3 métodos

Método de sustitución:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones,

$\left \{ {{3x-2y=-2} \atop {5x + 8y = -60} \right.$

Primer paso: Escogemos 1 de las ecuaciones y despejamos una variable. En este caso, escogemos la primera ecuación y despejaremos la variable X

$3x-2y=-2$

$3x=-2+2y$

$x=\frac{-2 + 2y}{3}$

Y ahora, como sabemos que X es igual a $\frac{-2 + 2y}{3}$, vamos a reemplazar ese valor en la segunda ecuación, en el lugar de la X.

$5x+8y=-60$

$5(\frac{-2 + 2y}{3})+8y=-60$

$\frac{-10 + 10y}{3}+8y=-60$

$-10 + 10y+24y=-180$

$34y=-170$

$y= -5$

Y si reemplazamos en alguna de las ecuaciones, tendremos que X es -4. Nos debe salir el mismo resultado usando cualquiera de los 3 métodos