Question

encuentre el punto sobre la parábola y^2= 2x más cercano al punto(1,4)

Answer 1

Determinamos el punto más cercan entre una coordenada y una función.

• El punto más cercano es [2, 2].

Procedimiento:

En la imagen adjunta podrás encontrar la gráfica de la función:

$\boxed{y = \sqrt{2x}}$

Para determinar el punto más cercano, lo realizamos mediante la formula de distancia:

$\boxed{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}$

La distancia entre la coordenada (1, 4) y el punto en la función (2, 2) es:

$d = \sqrt{(1-2)^2+(4-2)^2} = 2,2361$

Podemos notar que la distancia entre otros puntos son mayores a este valor.

Answer 2

Respuesta:

El punto más cercano de $y^{2} =2x$ a (1, 4) es (2, 2).

Explicación paso a paso:

Tomamos como  f(x) = $\sqrt{2x}$

Tomamos la fórmula de la distancia entre dos puntos.

$D=\sqrt[2]{(x_2-x_1)^{2} +(y_2-y_1)^{2} }$

Reemplazamos x2 = 1 y x1 = x. También reemplazamos y2 = 4 y y1 = f(x).

$D=\sqrt{(1-x)^{2} +(4-\sqrt{2x} )^{2}}$

Derivamos la función D (distancia). Nos queda de la siguiente forma:

$D'=\frac{x\sqrt{2x}-4}{\sqrt{2x^3-16x\sqrt{2x}+34x}}$

Buscamos puntos donde la derivada $D'$ sea igual a cero, es decir, $D'=0$. Para ello, calculamos para que valores el numerador que es $x\sqrt{2x}-4}=0$.

Después de despejar, nos queda el siguiente resultado:

$x=2$

Ahora sabemos una delas coordenadas del punto que está más cercano al punto (1, 4). Nos falta conocer el valor de $y$.

$y=\sqrt{2x}$

Reemplazamos x en la función.

$y=\sqrt{2*2}$

$y=\sqrt{4}$

$y=2$

Ahora ya tenemos ambas coordenadas y sabemos que el punto de $y^{2} =2x$ más cercano al punto $(1, 4)$ es $(2, 2)$.

By Nacho O.