Matemáticas, pregunta formulada por lorena315, hace 6 meses

Encuentre el factor integrante para la siguiente ecuación linea alguien sabe

Adjuntos:

Respuestas a la pregunta

Contestado por AspR178
18

Tema: Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante.

La ecuación diferencial exacta tiene la forma:

\boxed{\bf{P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}}

Para que sea considerada una ecuación diferencial exacta, se debe cumplir que:

\boxed{\bf{\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} }}

Entonces, primero verifiquemos esto.

La expresión es:

xy\prime +(1+x)y=e^{-x}\sin[\sin(2x)]

y\prime =\dfrac{dy}{dx}

x\dfrac{dy}{dx}  +(1+x)y=e^{-x}\sin[\sin(2x)]\to \texttt{Pasamos todo de un solo lado}\\x\dfrac{dy}{dx}  +(1+x)y-e^{-x}\sin[\sin(2x)]=0 \to \texttt{Multiplicamos por dx}\\\underbrace{x}_{Q(x,y)}\:dy +\underbrace{\{(1+x)y-e^{-x}\sin[\sin(2x)]\}}_{P(x,y)}dx=0

Vemos si es exacta:

\dfrac{\partial P}{\partial y}= 1+x\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}=1

Como podemos observar:

\dfrac{\partial P}{\partial y}\neq \dfrac{\partial Q}{\partial x}

Acá usamos la definición del factor integrante, dicho factor hace que la ecuación que no es exacta, se vuelva en ella.

Para ello se usa la ecuación estrella:

\boxed{\bf{\dfrac{1}{\mu (x,y)}[Q(x,y)\dfrac{\partial \mu}{\partial x}-P(x,y)\dfrac{\partial \mu}{\partial y}]=\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}} }  }

Usaré el caso \mu (x)

En ese caso, como el factor integrante depende de x, \partial \mu /\partial y =0

La expresión se reduce a:

\dfrac{1}{\mu (x,y)}\dfrac{d \mu}{d x} Q(x,y)=\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}\\\dfrac{1}{\mu (x,y)}\dfrac{d \mu}{d x} =\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q(x,y)}\\ \boxed{\dfrac{d\ln \mu}{dx} =\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q(x,y)}}

Sustituimos:

\dfrac{d \ln \mu}{dx}=\dfrac{x+1-1}{x}  \\\dfrac{d \ln \mu}{dx}=\dfrac{x}{x} \\\dfrac{d \ln \mu}{dx}=1 \to  \int d \ln \mu=\int dx\\\ln \mu=x \to \mu =e^{x}

\boxed{\textrm{El factor integrante es}\:e^{x}  }}

Comprobemos esto usándolo:

x\:dy  +\{(1+x)y-e^{-x}\sin[\sin(2x)]\}dx=0\to  \textrm{Usando el f.i:}\\ \underbrace{e^{x} x}_{Q(x,y)}\:dy  +\underbrace{\{e^{x} (1+x)y-\sin[\sin(2x)]\}}_{P(x,y)}dx=0

\dfrac{\partial Q}{\partial x}= e^{x} +xe^{x} \\\dfrac{\partial P}{\partial y} =e^{x}(1+x)=e^{x}+xe^{x}

Entonces:

\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}

Por lo que, el factor integrante vuelve la ecuación no exacta en exacta.

Otras preguntas