Question

encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es
X²-4y+6x+y²-23=0
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Answer 1

La circunferencia tiene su centro en C (-3,2) y su radio r es de 6 unidades

 

Solución

Sea

$\large\boxed{ \bold { x^{2} -4y +6x+y^{2} -23 = 0 }}$

Se tiene la ecuación de la circunferencia expresada en la forma general la cual está dada por:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+ 6 x -4y-23 = 0 }}$

La ecuación general de la circunferencia responde a la forma:

$\large\boxed{\bold {Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0}}$

Como se solicita hallar el centro y el radio de la circunferencia debemos convertir la ecuación de la circunferencia de la forma general a la forma ordinaria

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Se tiene

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+ 6 x -4y-23 = 0 }}$

Lo primero que hacemos es pasar -23 al lado derecho de la ecuación cambiando su signo

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+ 6 x -4y = 23 }}$

Ordenamos los términos de la ecuación escribiendo primero los términos que contienen la literal x y al final los términos que contienen a la literal y

$\boxed{ \bold { x^{2} + 6 x + y^{2} -4y = 23 }}$

Completamos los trinomios de los cuadrados perfectos

Comenzamos completando el cuadrado para $\bold { x^{2} + 6x}$

Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la x con exponente 1

El cual es 6. Luego obtenemos la mitad de ese número

$\bold {\frac{6}{2}= 3 }$

Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 3 al cuadrado

$\bold { 3^{2} = 9 }$

Por tanto al completar el cuadrado para $\bold { x^{2} + 6x}$

Se obtiene

$\bold { x^{2} + 6x+ 9}$

Volvemos a la ecuación de la circunferencia:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 6 x + y^{2} -4y = 23 }}$

Luego reemplazamos a $\bold { x^{2} + 6x}$ por $\bold { x^{2} + 6x+ 9}$

Donde dado que agregamos un 9 a la ecuación colocamos también un 9 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad

Resultando en:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} -4y = 23 +9 }}$

Ahora completamos el cuadrado para $\bold { y^{2} - 4y}$

Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la y con exponente 1

El cual es 4. Luego obtenemos la mitad de ese número

$\bold {\frac{4}{2}= 2}$

Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 2 al cuadrado

$\bold { 2^{2} = 4 }$

Por tanto al completar el cuadrado para $\bold { y^{2} - 4y}$

Se obtiene

$\bold { y^{2} - 4y+ 4}$

Volvemos a la ecuación de la circunferencia:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} -4y = 23 +9 }}$

Luego reemplazamos a  $\bold { y^{2} - 4y}$ por $\bold { y^{2} - 4y+ 4}$

Donde dado que agregamos 4 a la ecuación colocamos también un 4 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad

Resultando en:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} -4y +4= 23+9+4 }}$

$\bold { x^{2} + 6x+ 9}$

y

$\bold { y^{2} - 4y+ 4}$

Factorizamos aplicando la regla del trinomio del cuadrado perfecto

$\bold { x^{2} + 6x+ 9}$

$\bold { a^{2} + 2ab+ b^{2} = (a+ b)^{2} }$

$\bold { x^{2} + 6x+ 9= (x+3)^{2} }$

$\bold { y^{2} - 4y+ 4}$

$\bold { a^{2} - 2ab+ b^{2} = (a- b)^{2} }$

$\bold { y^{2} - 4y+ 4 = (y-2)^{2} }$

En la ecuación de la circunferencia reemplazamos:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} -4y +4= 23+9+4 }}$

$\boxed{ \bold { (x+3)^2+(y-2)^2= 23+9+4 }}$

$\large\boxed{ \bold { (x+3)^2+(y-2)^2=36 }}$

Centro:

Podemos decir que la circunferencia tiene su centro en:

$\large\boxed{ \bold { C= (-3,2) = (h,k) }}$

Radio:

Para encontrar el radio podemos decir que 36 = r², lo que resulta en:

$\large\boxed{ \bold { r= 6}}$

Por tanto la circunferencia tiene su centro en C (-3,2) y su radio r es de 6 unidades