Question

encuentre dos números cuya suma sea 100 y su producto sea maximo. por favor resolver con formula cuadrática

Answer 1

Respuesta:

x=50 y y=50

Explicación paso a paso:

x+y=100, si despejas y, y=100-x...(1)

Ahora su producto es

$xy = x(100 - x) = 100x - {x}^{2}$

Derivas para obtener los puntos críticos

$\frac{d}{dx} (100x - {x}^{2} ) = 100 - 2x \: => x = 50$

Derivas una segunda vez y evalúas en el punto crítico para saber si es máximo o mínimo

$\frac{ {d}^{2} }{d {x}^{2} } = - 2$

Como es una función constante evaluada en 50 va a valer -2 y como - 2<0, x=50 es un punto máximo ahora sustituyendo x en (1) y=100-x=100-50=50

Por lo tanto los números cuya suma es 100 que tienen producto máximo son x=y=50

Si lo quieres hacer sin derivar estas buscando el punto máximo de

$f(x) = 100x - {x}^{2}$

Entre x=0 y x=100 como dicho punto es el vertice ya que la parabola abre hacia abajo, ahora las coordenadas en x del vertice están dadas por

$x = \frac{ - b}{2a}$

Subsituyendo

$x = \frac{ - 100}{ - 2} = 50$

Y por la ecuación (1) y=100-x=100-50=50 por lo tanto los números cuya suma es 100 y producto es máximo son x=y=50

Answer 2

Los dos números tal que el producto sea máximo son 50

Sea "a" el primer número como la suma es 100, entonces el segundo es el resto es que 100 - a, luego el producto de los dos números es:

a*(100 - a) = 100a - a²

Luego como la expresión del producto es un término cuadrático con coeficiente principal negativo, entonces su máximo lo encontramos derivando e igualando a cero, por lo tanto, el máximo es:

100 - 2a = 0

2a = 100

a = 100/2

a = 50

Luego tenemos que el otro número es 100 - 50 = 50

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