Question

Encuentra los valores de a y b que hacen que los tres puntos estén alineados P (2, −1, a), Q (5, 1, 6) y R (b, −5, 9)

Answer 1

Los puntos P, Q y R están alineados cuando es a=7 y b=-4.

¿Cómo hacer que los puntos estén alineados?

Existen varias formas de determinar si los puntos P, Q y R están alineados, una de ellas es definir los vectores PQ y QR, cuyos extremos serán los puntos P y Q, y Q y R respectivamente.

Si los tres puntos están alineados, estos vectores serán paralelos, entonces, el producto vectorial entre ellos será cero. Las expresiones para estos dos vectores son:

$PQ=(2-5,-1-1,a-6)=(-3,-2,a-6)=(3,2,6-a)\\QR=(5-b,1-(-5),6-9)=(5-b,6,-3)$

Al plantear el producto vectorial e igualarlo a cero quedará un sistema de ecuaciones de dos variables:

$(3,2,6-a)\times (5-b,6,-3)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&2&6-a\\5-b&6&-3\end{array}\right] =(-6-36+6a,9+(5-b)(6-a),18-10+2b)\\\\-42+6a=0\\8+2b=0$

En la primera ecuación tenemos a=7 y en la segunda tenemos b=-4. Estos valores también satisfacen la ecuación 9+(5-b)(6-a)=0. Entonces, con estos valores para 'a' y 'b' los puntos P, Q y R están alineados.

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