Question

Encuentra las longitudes de los lados de un triangulo, rectangulo, si su perímetro es de 24 unidades y su área es de 24 unidades cuadradas​

Answer 1

Respuesta:

   6 ;    8    ; 10

Explicación paso a paso:

Sean a, b los catetos  y c la hipotenusa del triángulo:

Aplicando el teorema de Pitágoras:

$c^{2} = a^{2} +b^{2}$   ( I ).

Perímetro: P = 24

P= a + b + c

24 = a + b + c, entonces : c = 24 - ( a + b )

$c ^{2} = [ 24 - ( a + b ) ]^{2}$ ( II ).

Igualando ( I )  Y  ( II ):

$a^{2} + b^{2} = [ 24 - ( a+ b ) ]^{2}$

$a^{2} + b ^{2} = (24 )^{2} - 2 (24 ) ( a+b ) + (a+b )^{2}$

$a^{2} + b^{2} = 576 - 48a - 48b + a^{2} + 2ab +b^{2}$

$( a^{2} -a^{2} ) + ( b^{2} -b^{2} ) + 48a + 48b -2ab = 576$

$48a + 48b - 2ab = 576$

2 ( 24a + 24 b - ab ) = 576

24a + 24b - ab = 576 / 2

24a + 24b - ab = 288  ( III )

Area:  A = 24

$A = \frac{a * b }{2}$

$24 = \frac{ab}{2}$

2 ( 24 ) = ab

48 = ab ( IV )

$b =\frac{48}{a}$   ( VI )

Sustituyendo ( IV ) y ( VI ) en (III ):

24a + 24b - ab = 288  

24a + 24( 48/a ) - 48 = 288

24a + 1152 / a  = 288 + 48

24a + 1152 / a =336

a ( 24a + 1152 / a = 336 )

$24a^{2} + 1152 = 336 a$

DIvidimos la ecuación por 24:

$a^{2} +48 = 14 a$

$a^{2} - 14a + 48 = 0$

Por factorización:

( a - 8 ) ( a - 6 ) =0

a - 8 = 0              a - 6 = 0

a= 8               a = 6

Sustituyendo en ( VI ):

b= 48 / a                                  b = 48 / a

b = 48 / 8                                 b = 48 / 6

b = 6                                         b = 8

Sustituyendo en ( I ) :

$c^{2} = a^{2} +b^{2} , entonces: c =\sqrt{a^{2}+b^{2} }$

$c = \sqrt{8^{2}+6^{2} } = \sqrt{64 + 36} =\sqrt{100}$

$c = 10$