Question

encuentra la variación que experimenta un área total de un cono recto circular cuando el radio permanece constante y su altura incrementa 1%y viceversa cuando la altura permanece constante y el radio aumenta 1%

Answer 1

La variación del área cuando la altura aumenta en 1% manteniendo el radio constante es $\frac{0,0314h}{\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}}$, y cuando el radio aumenta en 1% manteniendo la altura constante es $0,0314(2R+\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}+\frac{R^2}{4\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}}).R$

Explicación:

El área total de un cono recto circular es:

$A=\pi.R(R+a)$

Donde R es el radio de la base y 'a' es la longitud de la generatriz, si la ponemos en función de la altura del cono es:

$(\frac{R}{2})^2+h^2=a^2\\\\A=\pi.R(R+\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2})\\\\A=\pi.(R^2+R\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2})$

La variación del área la calculamos mediante el diferencial total, por lo cual tenemos que hallar la derivada del área en función de cada variable:

$\frac{dA}{dR}=\pi(2R+\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}+R\frac{\frac{R}{2}}{2\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}})\\\\\frac{dA}{dR}=\pi(2R+\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}+\frac{R^2}{2\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}})\\\\\frac{dA}{dh}=\pi(0+\frac{2h}{2\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}})\\\\\frac{dA}{dh}=\pi\frac{h}{\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}}$

Si el radio permanece constante y la altura aumenta un 1% tenemos:

$\Delta R=0\\\Delta h=0,01h\\\\dA=\frac{dA}{dR}\Delta R+\frac{dA}{dh}\Delta h\\\\dA=\pi\frac{h}{\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}}.0,01h\\\\dA=\frac{0,0314h}{\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}}$

Si ahora la altura permanece constante y el radio aumenta en 1% tenemos:

$\Delta R=0,01R\\\Delta h=0\\\\dA=\frac{dA}{dR}\Delta R+\frac{dA}{dh}\Delta h\\\\dA=\pi(2R+\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}+\frac{R^2}{4\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}}).0,01R\\\\dA=0,0314(2R+\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}+\frac{R^2}{4\sqrt{\frac{R^2}{4}+h^2}}).R$