Question

Encuentra la solución de cada ecuación sin realizar la gráfica primero encuentra el vértice.

Answer 1

Mostramos la solución de cada ecuación.

Para hallar la solución de cada ecuación:

Se determina el vértice.

Se iguala la ecuación a cero.

En todos los casos se parte de la ecuación general:

y = ax^2 + bx + c               (1)

A la ecuación en la forma de vértice:

y = a*(x-h)^2 + k                 (2)

El vértice tiene coordenadas (h, k). en donde:

h = -b/(2a)

k = c-ah^2

Te explicamos cada caso

Parábola a):

y = x^2 -4x+4

En donde a=1. b=-4 y c=4. Determinando las coordenadas del vértice:

h = -(-4) / (2*1) = 2

k = 4-(1)(2)^2 = 0

Sustituyendo en (2):

y = (x-2)^2

Igualando a cero:

y = 0

(x-2)^2 = 0

Solución ⇒ x = 2

Parábola b):

y = 2x^2 + 8x

Determinamos las coordenadas del vértice:

h = -b/(2a) = -8/4 = -2

k = c-ah^2 = 0 - 2*(-2)^2 = -8

Sustituyendo en (2):

y = a(x-h)^2 + k = 2(x+2)^2 - 8

Igualando a cero:

y = 0

2(x+2)^2 - 8 = 0

(x+2)^2 = 4

Solución ⇒ x₁ = -4, x₂ = 0

Parábola c):

y = 3x^2 - 12x + 12

Determinamos las coordenadas del vértice:

h = -b/(2a) = 12/6 = 2

k = c-ah^2 = 12- 3*(2)^2 = 0

Sustituyendo en (2):

y = a(x-h)^2 + k = 3(x-2)^2

Igualando a cero:

y = 0

3(x-2)^2 = 0

x = 2

Solución ⇒ x₁ = 2

Parábola d):

y = 5x^2 - 10x + 5

Determinamos las coordenadas del vértice:

h = -b/(2a) = 10/10 = 1

k = c-ah^2 = 5 - 5*(1)^2 = 0

Sustituyendo en (2):

y = a(x-h)^2 + k = 5(x-1)^2

Igualando a cero:

y = 0

5(x-1)^2 = 0

x = 1

Solución ⇒ x₁ = 1

Parábola e):

y = 4x^2 - 16x + 16

Determinamos las coordenadas del vértice:

h = -b/(2a) = 16/8 = 2

k = c-ah^2 = 16 - 4*(2)^2 = 0

Sustituyendo en (2):

y = a(x-h)^2 + k = 4(x-2)^2

Igualando a cero:

y = 0

4(x-2)^2 = 0

x = 2

Solución ⇒ x₁ = 2

Answer 2

Respuesta:

Resolvemos las ecuaciones cuadráticas presentadas.

¿Cómo resolver una ecuación cuadrática?

Para resolver este problema debemos ver que hay diversas formas de resolverlo, lo importante es lograr factorizar la expresión cuadrática esto se puede hacer mediante técnica de resolvente, técnica de tanteo, entre otras, en este caso usaremos tanteo

Solución de las ecuaciones cuadráticas

• x² - 4x + 4, usamos la factorización (x - 2)², entonces x = 2
• 2x² + 8x, tenemos que si sacamos factor común es x*(2x + 8) = 0, entonces x = 0 o x = -4
• 3x² - 12x + 12 = 0 ⇒ x² - 4x + 4, esto lo resolvemos en la primera ecuación y obtenemos que x = 2
• 5x² - 10x + 5 ⇒ x² - 2x + 1 = 0 ⇒ (x - 1)², entonces x = 1
• 4x² - 16x + 16 = 0 ⇒ x² - 4x + 4, esto lo resolvemos en la primera ecuación y obtenemos que x = 2

Explicación: