Question

Encuentra la ordenada (y) faltante en uno de los vértices del triangulo de vértices A (-3, 4) B (6, 1) C (4, y) y que tiene un área de 25 unidades cuadradas.

Answer 1

La ordenada del punto C es $y=\frac{65}{9}$ o $y=-\frac{35}{9}$.

Explicación paso a paso:

El área de un triángulo es, siendo 'b' la base y 'h' la altura:

$A=\frac{b.h}{2}$

Podemos tomar como base el segmento AB, la longitud de este segmento es:

$|AB|=\sqrt{(6-(-3))^2+(1-4)^2}=\sqrt{90}$

Entonces la altura del triángulo es:

$h=\frac{2A}{b}=\frac{2.25}{\sqrt{90}}=\frac{50}{\sqrt{90}}$

La altura del triángulo (que es la longitud del segmento perpendicular a AB al punto C que es el tercer vértice), se puede entender como la distancia del punto C a la recta que contiene al segmento AB, la podemos hallar mediante sus ecuaciones continuas hallando primero un vector director:

$v=(6-(-3),1-4)=(9,-3)\\\\\frac{x-(-3)}{9}=\frac{y-4}{-3}\\\\-3(x+3)=9(y-4)\\\\-3x-9=9y-36\\\\3x+9y-27=0$

Utilizando la expresión de la distancia de un punto a una recta, hallamos la ordenada del punto C:

$d=\frac{|3x+9y-27|}{\sqrt{3^2+9^2}}=\frac{50}{\sqrt{90}}\\\\\frac{|3x+9y-27|}{\sqrt{90}}=\frac{50}{\sqrt{90}}\\\\|3.4+9y-27|=50\\\\|12+9y-27|=50\\\\9y-15=50=>y=\frac{65}{9}\\\\9y-15=-50=>y=-\frac{35}{9}$