Question

Encuentra la medida de los angulos y los lados de cada triangulos

Answer 1

El lado faltante del triángulo (c) tiene una dimensión de aproximadamente 12.49 centímetros. El ángulo A (α) y el ángulo B (β) miden aproximadamente 43.9° y 79.1° respectivamente

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO  

Solución

Calculamos la magnitud del lado faltante AB = lado c  

Para hallar la dimensión del tercer lado vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Hallando la longitud del tercer lado

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para emplear el teorema sabiendo que son cent\'imetros }$

$\boxed {\bold { c^{2} = 10^{2} + 14^{2} - 2 \ . \ 10 \ . \ 14 \ . \ cos(60)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 100 + 196 -280 \ . \ cos(60)^o }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 60 grados es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } }$

$\boxed {\bold { c^{2} = 296 - 280\ . \ 0.5 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 296 -140 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 156 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } =\sqrt{156} }}$

$\boxed {\bold { c =\sqrt{156} }}$

$\boxed {\bold { c =\sqrt{4\ . \ 39} }}$

$\boxed {\bold { c =\sqrt{ 2^{2} \ . \ 39} }}$

$\large\boxed {\bold { c= 2 \sqrt{39} \ cm }}$

Expresado en decimal

$\large\boxed {\bold { c \approx 12.49 \ cm }}$

Hallando los ángulos faltantes del triángulo

Para determinar los ángulos desconocidos aplicaremos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallando el ángulo A al que denotamos como α

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C} }}$

$\large \textsf{Reemplazamos }$

$\boxed { \bold { \frac{10 \ cm}{ sen( \alpha ) } = \frac{2\sqrt{39} \ cm }{ sen( 60 )^o } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{10 \not cm \ . \ sen( 60 )^o }{2\sqrt{39} \not cm } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 10 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{2\sqrt{39} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ \not 2 \ . \ 5 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{\not 2\sqrt{39} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 5 \ . \frac{\sqrt{3} }{2} }{\sqrt{39} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{\frac{5\sqrt{3} }{2} }{\sqrt{39} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 5\sqrt{3} }{2} \ .\ \frac{1}{\sqrt{39} } }}$

$\textsf{Quitamos la ra\'iz del denominador }$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 5\sqrt{3} }{2} \ .\ \left( \frac{1}{\sqrt{39} } \ . \ \frac{\sqrt{39} }{\sqrt{39} } \right) }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 5\sqrt{3} }{2 } \ . \ \frac{\sqrt{39} }{39} }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 5\sqrt{3}\ . \ \sqrt{39} }{2\ . \ 39 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 5\sqrt{3\ . \ 39}\ }{78 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 5\sqrt{117} }{78} }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )=0.6935752452815 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno }$

$\boxed { \bold { \alpha =arcsen ( 0.6935752452815 ) }}$

$\boxed { \bold { \alpha \approx 43.897886^o }}$

$\large\boxed { \bold { \alpha \approx 43.9^o }}$

Hallando el ángulo B al cual denotamos como β

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o =60^o+43.9^o + \ \beta } }$

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 60^o- 43.9^o } }$

$\large\boxed {\bold { \beta =76.1^o } }$

Se adjunta gráfico para mejor comprensión de las relaciones entre los lados y los ángulos planteadas