Question

Encuentra la ley de recurrencia de los números triangulares que se obtienen como se observa en la siguiente ilustración:

Answer 1

Aquí en Brainly tengo varias tareas similares resueltas, así que para adelantar trabajo copiaré parte del texto de una de ellas. Soy autor de esas tareas, no son copiadas de otros usuarios.

Los siguientes números se obtienen fijándose en la forma en que aumenta cada término respecto del anterior.

Términos

de la progresión:       1º              2º             3º            4º

Progresión inicial:      1               3              6             10 ... etc

Diferencia 1:                      +2              +3            +4         ⇒ (primer orden)

Diferencia 2:                            +1                +1             ⇒ (segundo orden)

Verás que la diferencia entre términos consecutivos no es una cantidad fija sino que va aumentando de UNO EN UNO de tal modo que lo que nos aparece es una sucesión dentro de otra sucesión.

Lo que viene llamándose SUCESIÓN CUADRÁTICA o de 2º ORDEN.

Se puede observar que la diferencia entre términos es creciente, o sea que ...

• del 1º al 2º término la diferencia es 2,
• del 2º al 3º la diferencia es 3,
• del 3º al 4º la diferencia es 4 ... etc ...

Eso sería en la "diferencia 1 "

En el segundo orden "diferencia 2 " es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de una unidad entre dos términos consecutivos,  

2+1 = 3 ..... 3+1 = 4 ... etc...

La ley de recurrencia (o fórmula) que nos permite saber el valor de cualquier término de esa sucesión conociendo el lugar que ocupa en ella.

Si has llegado a estudiar este tipo de sucesiones debes saber que el término general  ( o enésimo  aₙ )  ha de tener esta forma:  

$\boxed{\bold{a_n=an^2+bn+c}}$

Fórmula que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión o progresión cuadrática.

Para obtener el término enésimo aₙ de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes  "a, b, c" y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrita arriba (remarcados en negrita).

Se hace esto:

• 1er. térm. de prog. inicial = 1 ...  lo llamo C
• Diferencia 1 = --------------- +2 ...  lo llamo B
• Diferencia 2 = --------------- +1 ...  lo llamo A

Y ahora hay que acudir a esta fórmula:

$a_n=\dfrac{A}{2} *n^2+(B-\dfrac{3}{2} *A)*n+(A-B+C)$

Sustituyo por sus valores y reduzco términos semejantes:

$a_n=\dfrac{1}{2} *n^2+(2-\dfrac{3}{2} *1)*n+(1-2+1)\\ \\ \\ a_n=\dfrac{n^2}{2} +\dfrac{n}{2} +0\\ \\ \\ \boxed{\bold{a_n=\dfrac{n^2+n}{2} }}$

Ahí queda la ley de recurrencia que nos piden.

PD: Se comprueba que es correcta sustituyendo "n" por la sucesión de números naturales (1, 2, 3 ...) y ver que los resultados coinciden con los valores de la sucesión mostrada.

Puede parecer mucho texto pero,  si se quiere explicar bien,  hay que extenderse lo suficiente y aún así es complicado de entender porque seguramente surgirán dudas sobre los pasos dados en el procedimiento.