Question

Encuentra la gráfica de la elipse y los elementos faltantes si su centro se encuentra en el origen, uno de sus focos está en las coordenadas (0,5) y uno de sus vértices en (0,9).​

Answer 1

Respuesta:

$\frac{x^2}{56}+ \frac{y^2}{81} =1$

Explicación paso a paso:

Hola! por las coordenadas del foco y vértice, se puede deducir que la elipse es vertical (ya que estos 2 puntos deben estar alineados, tienen la misma coordenada en x, o sea que hay una línea vertical en x=0 por donde está estos 2 puntos).

Las elipses verticales con centro en el origen tienen la siguiente ecuación:

$\frac{x^2}{b^2}+ \frac{y^2}{a^2} =1$

*Donde a es la distancia del semieje mayor (o también la distancia del centro a cualquier vértice); y b la distancia del semieje menor.

Como el centro tiene coordenadas (0,0), podemos encontrar el valor de a, restando la coordenada en "y" del vértice (o sea 9) menos la del centro (o sea 0):

$a=9-0=9$

Con esto se puede deducir que el otro vértice está en V'(0,-9)

La distancia del centro a cualquiera de los focos se le conoce como c. Y haciendo el mismo procedimiento pasado, el valor de c sería el siguiente (restar coord. en y del foco menos la del centro):

$c=5-0=5$

Con esto se puede deducir que el otro foco está en F'(0,-5)

Por último, para hallar b, despejamos de la siguientes relación:

$a^2=b^2+c^2\\\\b=\sqrt{a^2-c^2} \\\\b=\sqrt{9^2-5^2}\\\\b=\sqrt{56} \\\\b=2\sqrt{14}$

Sustituyendo ahora a=9 y b=2√14 en la ecuación de la elipse:

$\frac{x^2}{(2\sqrt{14} )^2}+ \frac{y^2}{9^2}=1\\\\\frac{x^2}{56}+ \frac{y^2}{81} =1$

Respuesta: $\frac{x^2}{56}+ \frac{y^2}{81} =1$

¡Espero haberte ayudado, Saludos y éxito!