Question

Encuentra la forma general de lo ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A (4,6), 8 (-3,7) YC (3.- 1) y elabora su gráfica.

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Answer 1

【Rpta.】La ecuación de la circunferencia es x² + y² - 6y - 16 =0

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

                                    $\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}}}}$

                                    Donde E, D y F son constantes

En el problema, los puntos que nos da el enunciado debe cumplir la igualdad mencionada, entonces

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ primer\ punto: A=(\underbrace{\mathsf{4}}_{x_1},\underbrace{\mathsf{6}}_{y_1})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (4)^2+(6)^2+D(4)+E(6)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 16+36 + 4D + 6E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 52 + 4D + 6E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 4D + 6E+F = -52}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ segundo\ punto: B=(\underbrace{\mathsf{-3}}_{x_2},\underbrace{\mathsf{7}}_{y_2})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_2^2+y_2^2+Dx_2+Ey_2+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (-3)^2+(7)^2+D(-3)+E(7)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 9+49 - 3D + 7E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 58 - 3D + 7E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ -3D + 7E+F = -58}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ tercer\ punto: C=(\underbrace{\mathsf{3}}_{x_3},\underbrace{\mathsf{-1}}_{y_3})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_3^2+y_3^2+Dx_3+Ey_3+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (3)^2+(-1)^2+D(3)+E(-1)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 9+1 + 3D - 1E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 10 + 3D - 1E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 3D - 1E+F = -10}}}$

 

Ordenando la ecuaciones tendremos un sistema de ecuaciones lineales

                                              $\mathsf{ 4D + 6E+F = -52}\\\\\mathsf{ -3D + 7E+F = -58}\\\\\mathsf{ 3D - 1E+F = -10}$

 

Para resolverlo utilizaremos el método de determinantes, por ello escribiremos el sistema en forma matricial

                                               $\left[\begin{array}{rrr|r}4 & 6 & 1 & -52\\-3 & 7 & 1 & -58\\ 3 & -1 & 1 & -10\end{array}\right]$

Calculamos la determinante principal

                                           $\mathsf{\Delta_P =\left|\begin{array}{rrr}4 & 6 & 1\\-3 & 7 & 1\\ 3 & -1 & 1\end{array}\right|=50}$

Como la determinante es diferente que 0 diremos que el sistema tiene solución única, para determinar los valores de D, E y F utilizaremos las determinantes auxiliares.

✔ Determinante auxiliar para D

                                        $\mathsf{\Delta_D =\left|\begin{array}{rrr}-52 & 6 & 1\\-58 & 7 & 1\\ -10 & -1 & 1\end{array}\right|=0}$

✔ Determinante auxiliar para E

                                        $\mathsf{\Delta_E=\left|\begin{array}{rrr}4 & -52 & 1\\-3 & -58 & 1\\ 3 & -10 & 1\end{array}\right|=-300}$

✔ Determinante auxiliar para F

                                        $\mathsf{\Delta_F=\left|\begin{array}{rrr}4 & 6 & -52\\-3 & 7 & -58\\ 3 & -1 & -10\end{array}\right|=-800}$

Finalmente tenemos que:

                                           $\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:D=\dfrac{\Delta_D}{\Delta_P}=\dfrac{0}{50}=0}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:E=\dfrac{\Delta_E}{\Delta_P}=\dfrac{-300}{50}=-6}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:F=\dfrac{\Delta_F}{\Delta_P}=\dfrac{-800}{50}=-16}$

 

La ecuación de nuestra circunferencia sería:

                                     $\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}\\\\\\\n\mathsf{x^2+y^2+(0)x+(-6)y+(-16)=0}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2-6y-16=0}}}}}$

 

                                          $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$