Question

Encuentra la ecuación ordinaria y general de cada circunferencia, dadas sus características

1. C(-5,-2); r=7

2. C(3,5);Radios r=12

Answer 1

EJERCICIO 1

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por

$\large\boxed{ \bold { (x+5)^2+(y+2)^2=49 }}$

Expresada en la ecuación general:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} +10 x +4y -20 = 0 }}$

EJERCICIO 2

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y-5)^2=144 }}$

Expresada en la ecuación general:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x-10y -110= 0 }}$

Ecuación de la circunferencia

Solución

La suma de la abscisa elevada al cuadrado más la suma de la ordenada elevada al cuadrado es igual al radio al cuadrado

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h,k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable  r representa el radio del círculo,  h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

EJERCICIO 1

Centro (-5-2) y radio = 7

Reemplazamos en la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h,k) = (-5,-2) y radio = 7

$\boxed{ \bold { (x+5)^2+(y+2)^2=7^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x+5)^2+(y+2)^2=49 }}$

Siendo la expresión la ecuación ordinaria de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Resultando en:

$\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}$

Reagrupamos los términos del siguiente modo:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}$

Considerando:

$\bold {A = -2a }$         $\bold {B = -2b }$        $\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }$      

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x+5)^2+(y+2)^2=49 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\boxed{ \bold { x^{2} +10 x +25+ y^{2} +4y + 4 = 49 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} +10 x +4y+25 + 4 = 49 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} +10 x +4y+25 + 4 -49 = 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} +10 x +4y -20 = 0 }}$

EJERCICIO 2

Centro (3-5) y radio = 12

Reemplazamos en la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h,k) = (3,5) y radio = 12

$\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y-5)^2=12^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y-5)^2=144 }}$

Siendo la expresión la ecuación ordinaria de la circunferencia

Reescribimos la ecuación general de la circunferencia como en el ejercicio anterior:

Partiendo de la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Lo que resulta en:

$\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}$

Donde se reagrupan los términos del siguiente modo:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}$

Considerando:

$\bold {A = -2a }$         $\bold {B = -2b }$        $\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }$      

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Luego reescribimos

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y-5)^2=144 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\boxed{ \bold { x^{2} -6 x +9+ y^{2} -10y + 25 = 144 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x-10y +9 + 25 = 144 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x-10y +9 + 25 -144 = 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x-10y -110= 0 }}$