Question

Encuentra la ecuación general de la recta qué pasa por (-3, 4) y m = -2/5

Answer 1

La ecuación general o implícita de la recta que pasa por el punto P (-3, 4) y cuya pendiente es -2/5 está dada por:

$\large\boxed {\bold { 2x\ +\ 5y \ - \ 14 = 0 }}$

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-3,4) y cuya pendiente es -2/5

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (-3, 4) tomaremos x1 = -3 e y1 = 4

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { -\frac{2}{5} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { P (-3, 4) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (4) = -\frac{2}{5} \ . \ (x - (-3) )}}$

$\boxed {\bold { y - 4 = -\frac{2}{5} \ . \ (x +3 )}}$

Reescribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y - 4 = -\frac{2}{5} \ . \ (x +3 )}}$

$\boxed {\bold { y - 4 = -\frac{2x}{5} \ - \ \frac{6}{5} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{2x}{5} \ - \ \frac{6}{5} \ +\ 4}}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{2x}{5} \ - \ \frac{6}{5} \ + \ 4 \ . \ \frac{5}{5} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{2x}{5} \ - \ \frac{6}{5} \ + \ \ \frac{20}{5} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{2x}{5} \ + \ \ \frac{14}{5} }}$

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{2}{5}x \ + \ \ \frac{14}{5} }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta dada en la forma explícita

Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{2}{5}x \ + \ \ \frac{14}{5} }}$

$\boxed {\bold { y +\ \frac{2}{5}x \ - \frac{14}{5} = 0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{2}{5}x \ +\ y \ - \frac{14}{5} = 0 }}$

Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:

Multipicamos la ecuación por 5

$\boxed {\bold { \frac{2}{5}x \ . \ 5 \ +\ y \ . \ 5 \ - \frac{14}{5} \ . \ 5 = 0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{2}{\not 5}x \ . \not 5 \ +\ y \ . \ 5 \ - \frac{14}{\not5} \ . \not 5 = 0 }}$

$\large\textsf{Obteniendo }$

$\large\boxed {\bold { 2x\ +\ 5y \ - \ 14 = 0 }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita

Se adjunta gráfico