Question

Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, 3), B(2, 3) y C(2, 0).​

Answer 1

Utilizaremos la ecuación de la circunferencia en su forma general, la cual es:

$x^{2} +y^{2} +Dx+Ey+F=0$

Siendo: $D = -2h$, $E = -2k$ y $F = h^{2} +k^{2} -r^{2}$

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, 3), B(2, 3) y C(2, 0).

Ecuación para el punto A:

$x^{2} +y^{2} +Dx+Ey+F=0$

$1^{2} +3^{2} +1D+3E+F=0$

$1 +9 +D+3E+F=0$

$D+3E+F=-10$

De manera semejante obtenemos la ecuación que le corresponde a B:

$x^{2} +y^{2} +Dx+Ey+F=0$

$2^{2} +3^{2} +2D+3E+F=0$

$2D+3E+F=-13$

Y finalmente para el punto C

$x^{2} +y^{2} +Dx+Ey+F=0$

$2^{2} +0^{2} +2D+0E+F=0$

$4 +2D+F=0$

$2D+F=-4$

Así hemos obtenido el siguiente S.E.L:

$D+3E+F=-10$

$2D+3E+F=-13$

$2D+F=-4$

Ahora debemos resolverlo. Vamos a utilizar el método de determinantes. Empezamos escribiendo el S.E.L. en forma matricial:

$\left[\begin{array}{ccc}1&3&1 \ | -10\\2&3&1 \ | -13\\2&0&1 \ |-4 \ \end{array}\right]$

Calculamos primero el determinante principal:

Δa =      $| \ 1 \ 3 \ 1 \ |\\| \ 2 \ 3 \ 1 \ | \ \\| \ 2 \ 0 \ 1 \ |$ = -3

Dado que es distinto de cero, el S.E.L. tiene solución única. Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incógnitas del S.E.L. Determinante auxiliar para D:

ΔD = $| \ -10 \ 3 \ 1 \ |\\| \ -13 \ 3 \ 1 \ | \ \\| \ -4 \ \ \ 0 \ 1 \ |$ = 9

Determinante auxiliar para E:

ΔE = $| \ 1 \ -10 \ 1 \ |\\| \ 2 \ -13 \ 1 \ | \ \\| \ 2 \ \ -4 \ 1 \ |$ = 9

Determinante auxiliar para F:

ΔF = $| \ 1 \ 3 \ -10 \ |\\| \ 2 \ 3 \ -13 \ | \ \\| \ 2 \ \ 0 \ -4 \ |$ = -6

Finalmente, tenemos:

$D=$ ΔD/Δa = $\frac{9}{-3} = -3$

E = ΔE/Δa   = $\frac{9}{-3} =-3$

F = ΔF/Δa   = $\frac{-6}{-3} =2$

Y sabiendo que:

$D=-3=-2h$ es fácil concluir que:  $h=\frac{3}{2}$  También, si $E= -3=-2k$ implica que $k=\frac{3}{2}$.

Sabemos que $F = 2 = h^{2} +k^{2} -r^{2} =(1.5)^{2} +(1.5)^{2}-r^{2}$  de donde:

$r^{2} =-2+(\frac{3}{2} )^{2} +(\frac{3}{2} )^{2} =>r=\frac{\sqrt{10}}{2}$

Finalmente podemos calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, 3), B(2, 3) y C(2, 0).

$(x-h)^{2} +(y-k)^{2}=r^{2}$

$(x-\frac{3}{2})^{2}+(y-\frac{3}{2} )^{2}=(\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}$

Circulo de radio r = $\sqrt{\frac{5}{2}}$ y centro $(\frac{3}{2} , \frac{3}{2})$

Calculamos la circunferencia por medio de la fórmula: $L=2$ × π × $r$

Reemplazamos los valores para obtener L:

$L=2$ × π × $\sqrt{\frac{5}{2}}$

$L=9.93459$

La circunferencia es de 9.93459

CrhistopherV