Encuentra la ecuacion general de la circunferencia q pasa por los puntos A(-4,-3),B(5,10) y cuyo centro esta sobre la recta 3x+y-5
Respuestas a la pregunta
La Ecuación General de la Recta requerida es:
x² + y² + 17/3x + 7y – 1697/450 = 0
Se conoce por teoría que la Ecuación Canónica de una Recta es de la forma:
(x – h)² + (y – k)² = r²
Donde:
h y k son las coordenadas del centro de la circunferencia.
r = Radio.
Datos:
A (– 4; – 3)
B (5; 10)
Centro está sobre la recta 3x + y – 5 = 0
La circunferencia pasa por los puntos dados A y B; por lo que estos valores se ingresan en la ecuación de la recta.
(– 4 – h)² + (– 3 – k)² = r² (i)
(5 – h)² + (10 – k)² = r² (ii)
Al tener r² como término idéntico al otro lado de la igualdad; se igualan se resuelven los binomios; y se ordenan.
(– 4 – h)² + (– 3 – k)² = (5 – h)² + (10 – k)²
16 + 8h + h² + 9 + 6k + k² = 25 – 10h + h² + 100 + 20k + k²
Los términos cuadráticos se anulan quedando:
8h + 6k + 10h – 20k = 100 + 25 – 16 – 9
18h – 14k = 100 (iii)
Se da la recta sobre la cual está el centro de la circunferencia y la satisface, entonces:
3h + k = 5 (iv)
De las ecuaciones (iii) y (iv) se obtienen los valores de h y k: la ecuación (iv) se multiplica por – 6
18h – 14k = 100
– 18h – 6k = – 30
– 20k = 70
k = 70/–20
k= – 7/2 = – 3,5
Este se sustituye en (iii)
18h – 14(– 7/2) = 100
18h = 100 – 49
18h = 51
h = 51/18 = 17/6
h = 17/6 = 2,83
Las coordenadas del centro de la circunferencia son:
C (h, k) = (17/6; – 7/2)
Con estos valores se calcula el radio, sustituyéndolos en cualquier de las dos ecuaciones iniciales.
(– 4 – 17/6)² + (– 3 + 7/2)² = r²
(– 41/6)² + (1/2)² = r²
46,69 + 0,25 = r²
r² = 46,94
El radio de la circunferencia es:
r = 6,85
La Ecuación Canónica de la Circunferencia queda:
(x – 17/6)² + (y + 7/2)² = 46,94
De esta ecuación se despaja para la Ecuación General de la Recta.
x² + 34/6x + 289/36 + y² + 7y + 49/4 – 46,94 = 0
x² + y² + 17/3x + 7y – 1697/450 = 0