Question

Encuentra la ecuación de la parábola con los datos indicados.

Foco F(3; 2); vértice V(3; 5)

Answer 1

La ecuación canónica de la parábola solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-3 )^2= -12\ (y-5) }}$

La ecuación de la parábola en la forma general está dada por:

$\large\boxed{ \bold { x^2-6x+12y -51 = 0}}$

Datos:

$\bold{V (3,5)}$

$\bold{F (3,2)}$

Hallamos la ecuación en la forma canónica de la parábola con V (3,5) y F (3,2)

Dado que los valores de las coordenadas en x o de las abscisas son los mismos para el vértice y el foco

Empleamos la ecuación de la parábola en su forma canónica con vértice fuera del origen y eje de simetría paralelo al eje Y

Es decir para una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo

La cual está dada por la siguiente ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}$

Hallamos la distancia focal |p|

Donde este parámetro nos señala la distancia entre el foco y el vértice

$\bold { p = 2-5 }$

$\boxed {\bold { p = -3 }}$

Dado que p < 0 la parábola abrirá hacia abajo

Sabemos que el vértice de la parábola dada es:

$\boxed {\bold { V (3,5) }}$

$\bold {h = 3}$

$\bold {k = 5}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}$

$\bold { (x-(3) )^2= 4 \ . \ (-3)\ (y- (5)) }$

$\large\boxed{ \bold { (x-3 )^2= -12\ (y-5) }}$

Habiendo obtenido la ecuación canónica u ordinaria de la parábola solicitada

Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general

La forma general de la ecuación de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, también llamada parábola vertical está dada por:

$\large\boxed {\bold {A x^{2}+ Bx+ Cy+ D = 0 }}$

Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma ordinaria o canónica, desarrollando el binomio y simplificando la expresión

$\boxed{ \bold { (x-3 )^2= -12\ (y-5) }}$

$\bold { x^2-6x +9= -12y +60 }$

$\bold { x^2-6x +9+12y -60 = 0 }$

$\bold { x^2 -6x+12y+9 -60 = 0 }$

$\large\boxed{ \bold { x^2-6x+12y -51 = 0}}$

Se agrega gráfico