Question

Encuentra la ecuación de la parábola con los datos indicados.

Foco F(-5 ; 5) ; Vértice V(-5 ; 8)

Answer 1

La ecuación canónica de la parábola solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x+5 )^2= -12\ (y-8) }}$

La ecuación de la parábola en la forma general está dada por:

$\large\boxed{ \bold { x^2+10x+12y -71 = 0}}$

Datos:

$\bold{V (-5,8)}$

$\bold{F (-5,5)}$

Hallamos la ecuación en la forma canónica de la parábola con V (-5,8) y F (-5,5)

Dado que los valores de las coordenadas en x o de las abscisas son los mismos para el vértice y el foco

Empleamos la ecuación de la parábola en su forma canónica con vértice fuera del origen y eje de simetría paralelo al eje Y

Es decir para una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. O lo que es lo mismo una parábola vertical

La cual está dada por la siguiente ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}$

Hallamos la distancia focal |p|

Donde este parámetro nos señala la distancia entre el foco y el vértice

$\bold { p = 5-8 }$

$\boxed {\bold { p = -3 }}$

Dado que p < 0 la parábola abrirá hacia abajo

Luego:

Sabemos que el vértice de la parábola dada es:

$\boxed {\bold { V (-5,8) }}$

$\bold {h = -5}$

$\bold {k = 8}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}$

$\bold { (x-(-5) )^2= 4 \ . \ (-3)\ (y- (8)) }$

$\large\boxed{ \bold { (x+5 )^2= -12\ (y-8) }}$

Habiendo obtenido la ecuación canónica u ordinaria de la parábola solicitada

Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general

La forma general de la ecuación de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, también llamada parábola vertical está dada por:

$\large\boxed {\bold {A x^{2}+ Bx+ Cy+ D = 0 }}$

Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma ordinaria o canónica, desarrollando el binomio al cuadrado y simplificando la expresión

$\boxed{ \bold { (x+5 )^2= -12\ (y-8) }}$

$\bold { x^2+10x +25= -12y +96 }$

$\bold { x^2+10x +25+12y -96 = 0 }$

$\bold { x^2 +10x+12y+25 -96 = 0 }$

$\large\boxed{ \bold { x^2+10x+12y -71 = 0}}$

Habiendo determinado la ecuación de la parábola solicitada expresada en la forma general

Se agrega gráfico

Answer 2

La ecuación de la parábola cuyo foco y vértices son F(-5 ; 5) y V(-5 ; 8), es:

(x + 5)² = -12(y - 8)

¿Qué es una parábola?

Es un lugar geométrico equidistante de una recta directriz. Además, está elevado al exponente de grado 2 y se caracteriza por tener los siguientes elementos:

• Vértice: punto de unión de la parábola y el eje focal.
• Foco: es el punto fijo sobre el eje de simetría.
• Directriz: recta equidistante de cualquier punto de la parábola.
• Lado recto: es la resta que tiene una distancia 4p y pasa por el foco.
• Ejes: es la recta perpendicular a la directriz y pasa por el foco.

La ecuación de una parábola que abre hacia abajo es:

(x - h)² = -4p(y - k)

Siendo;

• vértice (h, k)
• Foco: (h, k-p)
• Directriz: y = k + p

¿Cuál la ecuación de la parábola?

Datos:

• vértice (-5, 8) = (h, k)
• Foco: (-5, 5) = (h, k-p)

Siendo;

k - p = 5

k = 8

Sustitur;

8 - p = 5

p = 8 - 5

p = 3

Sustituir en la Ec.:

(x + 5)² = -4(3)(y - 8)

(x + 5)² = -12(y - 8)

Puedes ver más sobre la ecuación de una parábola aquí: https://brainly.lat/tarea/13477214

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