Encuentra la ecuación de la función cuadrática g si la gráfica pasa por los puntos (–12, 0), (–9, 3) y (–7, –5)
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
y = - x² - 20x - 96
Explicación paso a paso:
Primero, como ya debes saber, usamos como base la ecuación estándar para las ecuaciones cuadráticas: y = ax² +bx + c
Ahora bien, con los puntos que han dado tienes que crear un sistema de ecuaciones, sustituyendo los puntos de x y de y en la ecuación estándar, quedaría algo así:
0 = a(-12)² + b(-12) + c
3 = a(-9)² + b(-9) + c
-5 = a(-7)² + b(-7) + c
Ahora simplificamos las tres ecuaciones: 0 = 144a - 12b + c
3 = 81a - 9b + c
-5 = 49a - 7b+ c
Ahora bien, usaremos la primera ecuación para resolver c ya que sigue siendo una incógnita:
Por lo que la reescribimos de la siguiente forma : 144a - 12b + c = 0
Esto dejaría el sistema de ecuaciones así: 144a - 12b + c = 0
3 = 81a - 9b + c
-5 = 49a - 7b+ c
De esta forma moveríamos todos los términos que no contengan c al lado derecho de la ecuación: c = -144a + 12b
3 = 81a - 9b + c
-5 = 49a - 7b+ c
Por siguiente remplazamos c por -144a + 12b todas la veces que aparezca c en la ecuación: c = -144a + 12b
3 = 81a - 9b - 144a + 12b
-5 = 49a - 7b - 144a + 12b
Simplificamos: c = -144a + 12b
3 = - 63a + 3b
-5 = - 95a + 5b
Bien, ahora, de forma similar a como hicimos con c, usaremos la segunda ecuación para resolver a, primero reescribiéndola como : - 63a + 3b = 3
Quedando : c = -144a + 12b luego pasamos 3b c = -144a + 12b
- 63a + 3b = 3 al otro lado: - 63a = 3 - 3b
-5 = - 95a + 5b -5 = - 95a + 5b
Ahora dividimos cada termino por - 63:
c = -144a + 12b c = -144a + 12b
- 63a/-63 = 3/-63 - 3b/-63 a = (3/-63) +(-3b/-63)
-5 = - 95a + 5b -5 = - 95a + 5b
Simplificamos: c = -144a + 12b Como la anterior vez, remplazamos a
a = - (1/21) +(b/21) por - (1/21) +(b/21) cada vez que
-5 = - 95a + 5b aparezca en al ecuación.
c = -144 ( - (1/21) +(b/21)) + 12b
a = - (1/21) +(b/21)
-5 = - 95 ( - (1/21) +(b/21)) + 5b
Simplificamos:
c = (12 (4 + 3b))/7
a = - (1/21) +(b/21) Resolvemos b en la tercera ecuación:
-5 = (5 (19 + 2b))/21 b = -20
Ahora como ya obtuvimos b, nos quedaría por - 20 sustituirlo las veces que aparezca en la ecuación:
c = (12 (4 + 3 (-20)))/7 c = -96
a = - (1/21) + (-20/21) Simplificamos nuevamente: a = -1
b = -20 b = -20
Finalmente sustituimos los valores hallados de a, b y c en la ecuación cuadrática estándar, osea:
y = ax² + bx + c ⇒ y = -x² - 20x -96