Question

Encuentra la ecuación de la elipse que tiene vértices en (-1, -9) y (-1, 3) y focos en (-1, -8) y (-1, 2).

Answer 1

Respuesta:

$\frac{(x+1)^2}{11}+ \frac{(y+3)}{36}=1$

Explicación paso a paso:

Hola! por las coordenadas de los focos y vértices, se puede deducir que la elipse es vertical (ya que estos 4 puntos deben estar alineados, tienen la misma coordenada en x, o sea que hay una línea vertical en x=-1 por donde está estos 4 puntos).

Las elipses verticales tienen la siguiente ecuación:

$\frac{(x-h)^2}{b^2}+ \frac{(y-k)^2}{a^2} =1; a>b$

Donde (h,k) son las coordenadas del centro; a es la distancia del semieje mayor; y b la distancia del semieje menor.

Las posiciones de los focos y vértices, entre si son simétricas ya que el centro se encuentra a la mitad de ellos. Para conocer las coordenadas del mismo, podemos sumar las coordenadas en y ya sean de los focos o de los vértices y dividirlo entre 2. Esa será su coordenada en y del centro. La de x es -1 (por lo mismo que están alineados):

$Centro:C(-1,\frac{3+(-9)}{2} )--->C(-1,-3)$

La distancia del Centro a cualquiera de los vértices, es a:

$a=3-(-3)=6$

La distancia del Cetro a cualquiera de los focos, es c:

$c=2-(-3)=5$

Y para conocer b, aplicamos la relación:

$a^2=b^2+c^2\\\\b=\sqrt{6^2-5^2} \\\\b=\sqrt{11}$

Sustituyendo a=6, b=√11, C(-1,-3) en la ecuación del la elipse:

$\frac{(x-(-1))^2}{\sqrt{11}^2 }+ \frac{(y-(-3))^2}{6^2} =1\\\\\frac{(x+1)^2}{11}+ \frac{(y+3)}{36}=1$

Respuesta: $\frac{(x+1)^2}{11}+ \frac{(y+3)}{36}=1$

¡Espero haberte ayudado, Saludos y éxito!

Answer 2

La ecuación reducida o ecuación ordinaria de la elipse viene dada por:

$\displaystyle{{\bf \frac{(x+1)^2}{11}+\frac{(y+3)^2}{6}}=1}}$

¿Cómo se calculó la ecuación de la elipse?

A partir de los datos aportados, se tiene una elipse con centro en el punto P y eje focal paralelo al eje de las ordenadas (ver figura adjunta).

La ecuación reducida de la elipse está dada de la forma:

$\displaystyle{{\bf \frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1}}$

Donde:

h = abscisa del punto central (P), de la elipse = -1

k = ordenada del punto central (P), de la elipse = -3

b = semieje menor = ?

a = semieje mayor = 6

En esta elipse, los semiejes están relacionados mediante la ecuación:

b² = a² - c²

Donde c = distancia del centro al foco = 5

Despejando b y sustituyendo datos en la ecuación anterior, se tiene:

b = √(a² - c²) = √(6² - 5²) = √(36 - 25) = √11

Sustituyendo datos en la ecuación de la elipse, se tiene:

$\displaystyle{{\bf \frac{(x-(-1))^2}{(\sqrt{11})^2}+\frac{(y-(-3))^2}{(\sqrt{6})^2}=1}} \rightarrow \displaystyle{{\bf \frac{(x+1)^2}{11}+\frac{(y+3)^2}{6}}=1}}$

Para aprender más de las elipses, ve al enlace siguiente:

https://brainly.lat/tarea/4483286