Matemáticas, pregunta formulada por ddanyela34, hace 1 mes

Encuentra la ecuación de la elipse con focos en F´(2,-3) y F( 2,3) y excentricidad igual a 1/2

Respuestas a la pregunta

Contestado por linolugo2006

La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2, -3), (2, 3) y su excentricidad 1/2, es

27 y² + 36 x² - 144 x - 828 = 0

¿Cuál es la ecuación canónica de la elipse?

De la información aportada sabemos que el eje focal está en posición vertical, por lo que la ecuación canónica de la elipse viene dada por:

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~+~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1}$

donde

(h, k) = centro de la elipse
a = distancia del centro a los vértices sobre el eje mayor
b = distancia del centro a los vértices sobre el eje menor

La distancia entre los focos es 6, ya que los focos se ubican en (2, -3) y (2, 3), lo que implica que c = 3

También se sabe que el punto medio del segmento de recta que une los focos es el punto centro de la elipse, en este caso (h, k) = (2, 0)

Además, se tiene que la excentricidad es 1/2 y que se calcula por c/a; lo que implica que

c/a = 1/2 de aquí 3/a = 1/2 por tanto a = 6

Luego, para completar la información de la ecuación, calculamos la distancia b por la relación:

a² = b² + c² ⇒ b² = (6)² - (3)² = 27

Sustituyendo en la ecuación canónica

$\bold{\dfrac{(y~-~0)^2}{(6)^2}~+~\dfrac{(x~-~2)^2}{27}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad }$