Question

encuentra la ecuacion de la ecuacion cuadratica f en cada caso:
a-) el vertice de la grafica de f es (2,-1)y pasa por un punto (1,-9)
ayuda es para mañana si no sabes no respondas

Answer 1

Respuesta: $f(x)=-8x^{2} +32x-33$

Explicación paso a paso: Partimos de la expresión general de las funciones cuadráticas.

$f(x)=ax^{2} +bx+c\\\text{donde a,b,c son numeros reales}$

Vamos a generar ecuaciones a partir de los datos. Sabiendo que un punto que pertenece a la función viene definido de la forma $(a,f(a))$, podemos decir que como (1,-9) pertence a la función, entonces:

$(a,f(a))=(1,-9)\Longrightarrow f(1)=-9\longrightarrow a(1)^{2} +b(1)+c=-9\longrightarrow \boxed{a +b+c=-9}$

También sabemos que el vértice también pertenece a la función, así que, de forma análoga, podemos decir que

$(a,f(a))=(2,-1)\Longrightarrow f(2)=-1 \longrightarrow a(2)^{2} +b(2)+c=-1 \longrightarrow \boxed{4a+2b+c=-1}$

De igual manera, el vértice es un punto crítico de la función, por lo que su derivada en el punto $x=2$ será igual a 0

$f'(2)=0$

Ahora, ya que sabemos que su derivada es 0, vamos a desarollar la expresión general de una función cuadrática y derivarla

$f(x)=ax^{2} +bx+c\\f'(x)=2ax+b\\f'(2)=0 \longrightarrow 2a(2)+b=0 \longrightarrow \boxed{4a+b=0}$

Ahora, vamos a juntar las tres ecuaciones obtenidas

$\limits_\left \{ {{a+b+c=-9} \atop {4a+2b+c=-1}}\atop{4a+b=0} \right.$

Resolvemos el sistema y nos resulta en $a=-8$, $b=32$, $c=-33$

Entonces, nuestra función queda

$\boxed{f(x)=-8x^{2} +32x-33}$