Question

Encuentra la ecuación de la circunferencia, si los extremos de uno de sus diámetros con los puntos A(-1,-3) cuyo centro esta en B(5,-1)

Answer 1

La ecuación de la circunferencia solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y+1)^2= 40 }}$

Solución

Llevamos el problema al plano cartesiano

Dado que el diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y donde los puntos finales se encuentran en la circunferencia del círculo.

Donde sabemos que uno de los puntos extremos de uno de sus diámetros es el punto A (-1,-3) cuyo centro está en el punto B (5,-1)

Luego podemos decir que el centro del círculo, el cual al ser el radio la mitad del diámetro:

El punto central del círculo estará dado por el punto medio entre los puntos extremos del diámetro

Como nos dicen que uno de los puntos extremos de su diámetro -el punto A (-1,-3), tiene su centro en el punto B (5,1), este último punto es el punto medio de ese diámetro

Siendo por tanto el punto B (5,-1) el centro del círculo

Al cual denotamos como C

Por tanto

$\large\boxed{\bold { C\ ( 5, \ -1 ) }}$

Luego el centro del círculo está dado por el punto o par ordenado C (5, -1)

Hallamos el radio del círculo

Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia

Tomamos para hallar el radio del círculo su centro -el cual determinamos en el inciso anterior- y el punto extremo de uno de sus diámetros dado por enunciado

Tomando entonces los puntos B = C (5, -1) y A (-1, -3)  

Empleamos la fórmula de la distancia para hallar el radio del círculo

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Reemplazamos los valores para $\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{((-1)-5 )^{2} +((-3)- (-1))^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(-1-5)^{2} +(-3+1)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(-6 )^{2} +(-2)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{36\ + 4 } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{40 } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{4\ . \ 10 } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{2^{2} \ . \ 10 } } }$

$\large\boxed{ \bold { radio = 2\sqrt{ 10 } } }$

El radio del círculo es igual a 2√10 unidades

Determinamos la ecuación de la circunferencia

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Centro (5,-1) y radio 2√10

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (5,-1) y radio = 2√10 unidades

$\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y+1)^{2} =\left(2\sqrt{10}\right) ^{2} }}$

$\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y+1)^2= 4 \ . \ 10 }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y+1)^2= 40 }}$

Siendo esta la ecuación de la circunferencia solicitada

Se encuentra la gráfica en el adjunto