Question

encuentra la ecuación de la circunferencia qué tiene su centro en el punto c(4,2) y su radio es igual a 4.​

Answer 1

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-4)^2+(y-2)^2=16 }}$

Expresada en la ecuación general de la circunferencia:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-8 x-4y +4= 0 }}$

 

Solución

Ecuación ordinaria de la circunferencia

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

$\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (4,2) y radio = 4

$\boxed{ \bold { (x-4)^2+(y-2)^2=(4 )^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-4)^2+(y-2)^2=16 }}$

Habiendo hallado la ecuación ordinaria de la circunferencia

Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Resultando en:

$\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}$

Reagrupamos los términos del siguiente modo:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}$

Considerando:

$\bold {A = -2a }$         $\bold {B = -2b }$        $\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }$      

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x-4)^2+(y-2)^2=16 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\boxed{ \bold { x^{2} -8 x +16+ y^{2} -4y + 4 = 16 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -8 x +16+ y^{2} -4y + 4 -16 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-8 x-4y +16 + 4 -16 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-8 x-4y +20 -16= 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-8 x-4y +4= 0 }}$

Habiendo hallado la ecuación general de la circunferencia

Se agrega gráfico