Question

Encuentra la ecuación de la circunferencia en su forma general que pasa por los puntos:
A(-2,2), B(-2,-4) Y C(2,-2)

Answer 1

Para resolver este problema lo primero que debemos hacer es encontrar el punto medio entre 2 pares de puntos. Elegimos AB y AC.

Ecuaciones de punto medio:
$x = \frac{x1 + x2}{2}$
$y = \frac{y1 + y2}{2}$
Sustituimos para el par AB:

x = (-2+(-2))/2
x = -2
y = (2+(-4))/2
y = -1

D ( -2, -1 )

Aquí tenemos el punto medio entre A y B.
Ahora hacemos lo mismo para A y C

x = (-2-2)/2
x = 0
y = (-2+2)/2
y = 0

E ( 0, 0)

Ahora procedemos a obtener la pendiente "m" de cada recta que forman los pares de puntos AB y AC.

$m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}$
Para AB:

m = (-4-2)/(-2-(-2))

mAB = -6/0

Para AC:

m = (-2-2)/(2+2)

mAC = -1

El siguiente paso es invertir las pendientes que sacamos anteriormente, esto porque las pendientes que hemos sacado son de los puntos AB y AC, al invertirlas obtendriamos las pendientes pero de los puntos medios, de está forma si imaginamos una recta que pasa por los puntos medios podríamos realizar un sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección (punto donde se juntan) y obtener el CENTRO que es uno de los dos elementos que necesitamos para llegar a la forma general de la ecuación de la circunferencia.

mAB = -6/0 se invierte y queda 0/6

Por lo tanto

mD = 0/6

mAC = -1 se invierte y queda +1

Por lo tanto

mE = +1

Ya tenemos puntos medios y pendientes de una recta que imaginamos que pasa por el punto medio AB y otra por AC.

Ahora aplicamos la ecuación Punto- Pendiente:

$y1 - y2 = m(x1 - x2)$
Para el punto D(-2,-1):

y-(-1)=0/6(x-(-2))

y+1=0

despejamos y:

y = -1 (Ecuación 1)

Para el punto E(0,0):

y-0 = 1 (x-0)

y=x (Ecuación 2)

Ahora ya tenemos 2 ecuaciones y conocemos el valor de y que es -1, este valor de la ecuación 1 lo sustituimos en la ecuación 2.

y=x
x=y
x=-1
Ya tenemos el centro que sería y que ya lo conocíamos de la ecuación 1 y el de x que acabamos de sacar sustituyendo y en la ecuación 2. Por lo tanto nos queda el centro en el punto:

F ( -1, -1 )

El siguiente paso es por la ecuación de distancia entre dos puntos obtener la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos A, B o C, esto nos dará el radio de la circunferencia en unidades "u".

$d = \sqrt{(x2 - x1) + (y2 - y1)}$
Sustituimos los puntos del centro y F(-1,-1) con A(-2,2) (tambien puede ser con B o con C)

$d = \sqrt{( - 1 + 2)^{2} + ( - 1 - 2)^{2} }$
La sustitución anterior nos da el valor del radio que es :
$\sqrt{10}$
Esto conviene dejarlo asi pues en el siguiente paso se eliminará la raíz.

Ya tenemos todos los datos ahora sustituimos en la forma ordinaria de la circunferencia:

$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$
NOTA: recuerda siempre respetar leyes de signos.

$(x+ 1)^{2} + (y + 1)^{2} = ( \sqrt{10} )^{2}$
Desarrollando lo anterior nos queda como respuesta final lo siguiente que ya sería la ecuación de la circunferencia en su Forma General

$x^{2} + y^{2} + 2x + 2y - 8 = 0$

Espero haberte ayudado.

NOTA: la siguiente es la ecuación en su forma general de cualquier circunferencia.

$ax {}^{2} + by {}^{2} + dx + ey + f = 0$