Question

Encuentra la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general con centro en el punto (1,5) y radio r = 3

Answer 1

La ecuación de la circunferencia solicitada está dada por:

Forma Ordinaria:

$\large\boxed{ \bold { (x-1)^2+(y-5)^2=9 }}$

Forma General:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-2x-10y +17= 0 }}$

Sea la circunferencia

Con centro en el punto:

$\bold{C (1,5) \ \ \ (h, k)}$

Y de radio:

$\bold{ radio = 3\ u }$

La ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Determinamos la ecuación ordinaria de la circunferencia

Reemplazando en la ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (1,5) y radio = 3 unidades

$\bold { (x-(1))^2+(y-(5))^2=(3 )^{2} }$

$\bold { (x-1)^2+(y-5)^2=(3 )^{2} }$

$\large\boxed{ \bold { (x-1)^2+(y-5)^2=9 }}$

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia que hallamos previamente

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x-1)^2+(y-5)^2=9 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\bold { x^{2} -2 x +1+ y^{2} -10y + 25 =9 }$

$\bold { x^{2} -2 x +1+ y^{2} -10y + 25 -9 = 0 }$

$\bold { x^{2} + y^{2}-2x-10y + 1+ 25 -9 = 0 }$

$\bold { x^{2} + y^{2}-2x-10y+ 26 -9 = 0 }$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-2x-10y +17= 0 }}$

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, quedando determinada por el centro y el radio

Se agrega gráfico