Question

Encuentra la ecuación de la circunferencia de diámetro el segmento formado por los puntos A (-4,7)y B( 6,-1).

Answer 1

Primero debemos hallar el punto medio del segmento

${\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}}\\\\\\{\dfrac{-4+6}{2},\dfrac{7-1}{2}}\\\\\\{\dfrac{2}{2},\dfrac{6}{2}}\\\\\\{\boxed{(1,3)}}$



Ahora hallamos la distancia entre el centro y uno de los puntos:

${d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\\\\{d=\sqrt{(-4-1)^2+(7-3)^2}}\\\\{d=\sqrt{41}}$



Remmplazo en la ecuación:

• ( x - h )²+ ( y - k )² = r²
${(x-1)^2+(y-3)^2=\sqrt{41}^2}\\\\\\{\boxed{(x-1)^2+(y-3)^2=41}}$

Answer 2

Las figuras cónicas son las que se generan al intersectar un plano con un cono, si este plano es perpendicular al eje del cono, la figura corresponde a una circunferencia.

Así como las demás figuras cónicas, la ecuación de la circunferencia es un caso particular de la ecuación general. En este caso,

$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=41^{2}$

Primero, tenemos los puntos que definen el segmento de un diámetro, A y B, con estos, podemos determinar el centro u origen de la circunferencia, determinando su punto medio,

$x_{0}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} =\frac{-4+6}{2} =\frac{2}{1} =1\\\\y_{0}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} =\frac{7-1}{2} =\frac{6}{1} =3$

Ahora, nos valemos del mismo segmento para calcular el radio, como la mitad de la longitud del mismo. La distancia entre dos puntos es la hipotenusa del triángulo formado con base igual a la diferencia de $x$ , y altura igual a las diferencia en $y$.

$base=6-(-4)=6+4=10\\altura=7-(-1)=7+1=8\\\\d=\sqrt{base^{2}+altura^{2}} =\sqrt{10^{2}+8^{2}} =\sqrt{100+64}=2\sqrt{41}\\\\r=d/2=2\sqrt{41} /2=\sqrt{41}$

Ya tenemos los elementos para definir nuestra ecuación,

$(x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2}=r^{2}\\\\(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=(\sqrt{41} )^2\\\\(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=41$