Question

Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyos extremos de uno de los diametros son AC-4₁7) y B(10,-3) 4​

Answer 1

Recordemos que la ecuación de una circunferencia se define como:

   $\overset{\sf{\vphantom{\Big|}Ecuaci\acute{o}n\ de\ la\ circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\sf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}}\qquad\sf{Donde}\qquad\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\bigcirc \kern-7.5pt \triangleright} \quad \sf{(h,k): {\displaystyle Centro\ de\ la\atop\displaystyle \vphantom{\bigg|}circunferencia}\\\boldsymbol{\bigcirc \kern-7.5pt \triangleright} \quad \sf{r:radio}\end{array}$

Como observamos necesitamos conocer el radio y el centro, entonces

✅ Hallemos el radio

Por ello determinaremos la distancia entre los puntos A y B

                           $\begin{array}{c}\sf{d[A,B]=\sqrt{\left[\left(-4\right)-\left(10\right)\right]^2+\left[\left(7\right)-\left(-3\right)\right]^2}}\\\\\sf{d[A,B]=\sqrt{\left(-14\right)^2+\left(10\right)^2}}\\\\\sf{d[A,B]=\sqrt{196+100}}\\\\\boldsymbol{\boxed{\sf{d[A,B]=2\,\sqrt{74}\ u}}}\end{array}$

Lo que acabamos de hallar es el diámetro, pero nosotros queremos el radio, entonces lo dividimos entre 2

                      $\sf{Di\acute{a}metro = d[A,B] = 2\,\sqrt{74}\qquad\blue{\Rightarrow}\qquad Radio=\sqrt{74}}$

✅ Hallemos el centro

Por ello determinaremos el punto medio del segmento A y B

                                       $\begin{array}{c}\sf{C=\left(\dfrac{-4 + \left(10\right)}{2},\dfrac{7 + \left(-3\right)}{2}\right)}\\\\\sf{C=\left(\dfrac{-4 + 10}{2},\dfrac{7 - 3}{2}\right)}\\\\\sf{C=\left(\dfrac{6}{2},\dfrac{4}{2}\right)}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{C=\left(3,2\right)}}}}\end{array}$

Lo único que queda es reemplazar estos valores

                                     $\begin{array}{c}\sf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\sf{\left(x-\left(3\right)\right)^2+\left(y-\left(2\right)\right)^2=\left(\sqrt{74}\right)^2}\\\\\underset{\underset{\sf{\displaystyle Ecuaci\acute{o}n\ ordinaria}}{\displaystyle\downarrow}}{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=74}}}}}\end{array}$

⚠ La gráfica en la imagen solo es para comprobar nuestros resultados.

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$