Question

Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C ( -2, 1) qué pasa por el punto P ( 1, -1)

Answer 1

『Rpta』La ecuacion de la circunferencia es (x + 2)² + (x - 1)² = 13

                          ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt }\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50 pt}\above 1.2pt }$

Debemos recordar que la circunferencia es un lugar geométrico de todos los puntos P (x; y) del plano que se encuentran a una misma distancia "r" de un punto fijo de dicho plano C (h; k), llamado centro de la circunferencia

                                 $\frac{ \mathsf{Ecuaci \acute{o}n \: de \: la \: circunferencia}}{\begin{gathered}{ \boxed{\mathsf{(x - h)^{2} + (y - k) ^{2} = r ^{2}}}}\end{gathered}}$

Donde:

             $\blacktriangleright{\mathsf{r = radio}}$                       $\blacktriangleright{\mathsf{C(h: k)=centro \: de \: la \: circunferencia}}$

Ahora identificamos los datos del enunciado

             $\blacktriangleright{\mathsf{r = no \: lo \: conocemos}}$                  $\blacktriangleright{\mathsf{C(h; k)=C(-2,1)}}$

No conocemos el radio, pero nos dan de dato que pasa por el punto P (1; -1), por lo tanto utilizaremos la distancia entre dos puntos es decir el punto del centro al punto P

                                  $\frac{ \mathsf{Distancia \: de \: un \: punto \: a \: otro}}{\begin{gathered}{ \boxed{\mathsf{ |CP| = \sqrt{ (x - h)^{2} + (y - k) ^{2} } }}}\end{gathered}}$

Identificamos los valores de "x", "y", "h" y "k"

           $\blacktriangleright{\mathsf{C(h; k)=C(-2,1)}}$                  $\blacktriangleright{\mathsf{P(x; y)=C(1,-1)}}$

Ahora que conocemos los datos reemplazamos en la formula de la Distancia de un punto a otro

                              $\mathsf{ |CP| = \sqrt{ [1 - (-2)]^{2} + [(-1) - 1]^{2}}}\\ \\ \\ {\ \mathsf{ |CP| = \sqrt{ (1 +2)^{2} + [(-1) - 1]^{2}}}} \\ \\ \\ {\ \ \ \ \ \mathsf{ |CP| = \sqrt{ (3)^{2} + (-2)^{2}}}}\\ \\ \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \mathsf{ |CP| = \sqrt{ 9 + 4}}}\\ \\ \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathsf{ |CP| = \sqrt{ 13}}}$

Ahora que ya conocemos el radio utilizamos la formula de la Ecuación de la circunferencia

                                 $\frac{ \mathsf{Ecuaci \acute{o}n \: de \: la \: circunferencia}}{\begin{gathered}{ \boxed{\mathsf{(x - h)^{2} + (y - k) ^{2} = r ^{2}}}}\end{gathered}}$          

Ahora identificamos los datos pero ahora conociendo la medida del radio

                         $\blacktriangleright{\mathsf{r = \sqrt{13} }}$                  $\blacktriangleright{\mathsf{C(h; k)=C(-2,1)}}$

Ahora reemplazamos los datos

                              $\mathsf{[x - (-2)]^{2} + (y - 1) ^{2} = (\sqrt{13}) ^{2}} \\ \\ \\ {\ \ \ \mathsf{(x+2)^{2}+(y-1)^{2} = 13 }}$