Question

Encuentra la ecuación de la circunferencia
con radio 15 y centro C (5,-5) ​

Answer 1

La ecuación ordinaria de la circunferencia solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y+5)^2= 225 }}$

Expresada en la forma general:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-10 x+10y-175 = 0 }}$

Solución

Ecuación ordinaria de la circunferencia

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Donde conocemos las coordenadas del centro del círculo y el valor del radio de la circunferencia es de 15 unidades

Por tanto

Siendo el centro el punto:

$\boxed{ \bold { C \ (5,-5) \ \ (h, k)} }$

Y el radio:

$\boxed{ \bold { radio = 15\ u } }$

Luego determinamos la ecuación canónica de la circunferencia

Reemplazamos en la ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (5,-5) y radio = 15 unidades

$\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y+5)^2=\ (15) ^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y+5)^2= 225 }}$

Habiendo hallado la ecuación ordinaria de la circunferencia solicitada

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Resultando en:

$\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}$

Reagrupamos los términos del siguiente modo:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}$

Considerando:

$\bold {A = -2a }$         $\bold {B = -2b }$        $\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }$      

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x-5)^2+(y+5)^2= 225 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\boxed{ \bold { x^{2} -10 x +25+ y^{2} +10y + 25 = 225 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -10 x +25+ y^{2} +10y + 25 - 225 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-10 x+10y +25 + 25 -225 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-10 x+10y +50 -225 = 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-10 x+10y-175 = 0 }}$

Habiendo determinado la ecuación general de la circunferencia solicitada

Se adjunta gráfico de la circunferencia solicitada